第一章： 矩阵

1. 矩阵概念

1. 矩阵定义：由m×n个数aij（i = 1，2 ···，m ；j = 1，2 ···，n）按一定顺序排成的m行n列的矩形数表
   
   注意：矩阵表示的是一个数表，不是一个具体的数

2. 主对角线：
   当m = n，即矩阵的行数与列数相同时，称矩阵为n阶方阵 或 n阶矩阵，在n阶方阵A中，元素aii （i = 1，2，···，n）排成的对角线称为方阵A的主对角线

3. 行矩阵：
   当m = 1时，得到一个1行n列的矩阵
   A1×n = (a11 a12 ··· a1n)
   称它为行矩阵

4. 列矩阵：
   当n = 1时，得到一个m行1列的矩阵
   Am×1 = (a11 a21 ··· am1)^T
   称它为行矩阵

几种特殊矩阵↓
1） 零矩阵：
💛所有元素皆为0的矩阵称为零矩阵，简称零阵，记为O或Om×n
2） 对角矩阵（是方阵）
💛一个n阶方阵，若除主对角线上的元素aii （i = 1，2，···，n）外，其余元素全部为0，则称这个矩阵为对角矩阵，对角矩阵通常用Λ表示
（非主对角线上的零元素可省略不写）也可记作：diag（λ1，λ2，···，λn）

3） 单位矩阵（是方阵）
💛是特殊的对角矩阵；
主对角线上元素全是1的对角矩阵称为单位矩阵，n阶单位矩阵通常用En（或I n）表示，下标n表示单位矩阵的阶数，有时也简记为E（或 I）

4） 标量矩阵（是方阵）
（又叫做“纯量矩阵”，“数量矩阵”）
💛主对角线上的元素全为常数k的对角矩阵称为标量矩阵

5） 三角形矩阵：（是方阵）
💛主对角线下（上）面的元素全为0的方阵称为上（下）三角形矩阵；上、下三角形矩阵统称为三角形矩阵
6） 阶梯型矩阵（不一定是方阵）
💛设A = (aij)m×n为非零矩阵，若非零行（至少有一个非零元素的行）全在零行的前面，且A中各非零行第一个（最后一个）非零元素前（后）面零元素的个数随行数增加而增加（减少），则称A为上（下）阶梯型矩阵

上阶梯型矩阵👇
下阶梯型矩阵则是0元素在右上↗方

注意：阶梯型是以主对角线为“界限”像下面这样的矩阵就不是阶梯型

2. 矩阵运算

主要包括矩阵的线性运算、乘法运算、矩阵的转置

💙1）线性运算：

矩阵的加、减法、数乘运算统称为线性运算

1》加、减法：

同型矩阵A = (aij)m×n 与 B = (bij)m×n，称矩阵C = (cij)m×n = (aij±bij)m×n为矩阵A与B的和（差），记为C = A ± B
注意：只有同型矩阵才能相加（减），其和（差）矩阵仍是与它们同型的矩阵
性质：
（1）A+B = B+A
（2）(A+B)+C = A+(B+C)
（3）A+O = O+A = A
（4）A+(-A) = (-A)+A = O

2》数乘

矩阵A = (aij)m×n，k为常数，以k乘A的每一个元素得到的矩阵称为数k与矩阵A的数量乘积，简称数乘，记作kA，即kA = (k·aij)m×n
性质：
（1）k(A+B) = kA + kB
（2）(k+l) A=kA + lA
（3）(kl) A = k(lA)
（4）1A = A；( -1 )A = -A；0A = O

💙2）乘法运算

设A为m×p的矩阵，B为p×n的矩阵，那么称m×n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作C = AB，其中矩阵C中的第i行第j列元素可以表示为： (AB)ij = cij = ai1b1j + ai2b2j + ······ + aipbpj
矩阵相乘的前提：左乘矩阵的列数 = 右乘矩阵的行数
注意：
（1） AB有意义，BA 不一定有意义
（2）一般来说AB ≠ BA，即矩阵乘法不满足交换律
（3）由AB = O不能推出A = O或B = O,即两个非零矩阵的 乘积可以是零矩阵
（4）由AB = AC 且A ≠ O，不能推出 B = C ，即矩阵乘法不满足消去律

性质：
（1） (AB)C = A(BC)
（2）A ( B+C ) = AB +AC
（3）( B+C ) A = BA + CA
（4）k (AB) = (kA) B = A (kB)
（5）Em Am×n = Am×nEn = Am×n
（6）Am×nOn×s = Om×s

💙3）矩阵的转置

将矩阵A = (aij)m×n的行列互换得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作A^T
性质：
（1） (A^T)^T = A
（2）(A + B)^T = A^T +B^T
（3）(kA)^T = kA^T(k是常数)
（4）⭐(AB)^T = B^TA^T
性质（4）可以推广：(A1A2 ··· Am)^T = Am^T···A2^TA1^T

📘对称矩阵与反对称矩阵
设A为n阶方阵，若A^T = A ，则称A为对称矩阵；若A^T = - A，则称A为反对称矩阵
对称矩阵特点：aij = aji
反对称矩阵特点：aij = -aji ； 由此可推得 aii = 0（主对角线元素为0）
对于任意n阶方阵A，A+A^T、AA^T、A^TA都是对称矩阵；而A - A^T是反对称矩阵
任意方阵A都可以写成对称矩阵与反对称矩阵的和：
A = (A+A^T)/2 + (A - A^T)/2

注意：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵
可以证明：若A、B为同型对称矩阵，AB为对称矩阵⇔AB = BA
（充分：∵(AB)^T = AB；∵(AB)^T = B^TA^T = BA；∴AB = BA 必要：∵AB = BA；∵(AB)^T = B^TA^T = BA；∴(AB)^T = AB）

3. 方阵 的行列式及其运算

注意：必须是方阵才有行列式→行列式必须是“方的”

性质：
（1）上 / 下三角形行列式展开：主对角元素相乘
（2）互换两行（列），行列式变号
（3）行（列）的公因子可以提到行列式外面：
一个数 × 行列式 = 该数 × 行列式的某一行（列）
（4）（行列式的值为0：）①有零行（列）②某两行 （列）对应成比例
（5）⭐行列式中某一行（列）元素与零一行（列）对应元素的代数余子式的乘积 之和为0
（6） 若行列式中某一行（列）的所有元素都是两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和
（7）奇数阶反对称行列式的值为0

运算性质：
（1） | kA | = kⁿ| A |
（2）| AB | = | A | | B |
（3）| A^T | = | A |

(2)的推广：①| ABCD··· | = | A | | B | | C | | D |···
②| A^k | = | A |^k

4.余子式、代数余子式

注意推论↓*

5.伴随矩阵（必须是方阵）

“按行求，按列放”

性质：
（1）AA^* = A^*A = | A | E
（2） | A |A^-1 = A^*
（3）| A^* | = | A | ^n-1

6.克拉默法则

n元1次方程组的系数行列式 D ≠ 0 ⇔ 有唯一解

⭐齐次：

D ≠ 0 → 仅有零解
D = 0 →有非零解

⭐非齐次：

D ≠ 0 → 有唯一解
D = 0 →无解 or 多解

7.初等变换

8.等价和等价类

等价：将矩阵A进行有限次的初等变换得到矩阵B，称A与B等价（注意不是相等），记作 A ≌ B 或 A ↔ B

等价类：所有与A等价的矩阵的集合称为一个等价类；
标准型是这个等价类中形状最简单的矩阵

9.标准型 （不一定方）

特点：左上角是一个单位矩阵，其余元素为0
一个矩阵的标准型唯一
决定因素：①原矩阵的行数、列数 ②上阶梯型非零行的行数

10.秩

“非零子式的最高阶数”

Am×n， 0 ≤ r(A) ≤ min{ m，n }
行满秩和列满秩：若 r(A) = m →行满秩；若 r(A) = n →列满秩
满秩和降秩：若r(A) = min{ m，n } →满秩；若r(A) ＜ min{ m，n } →降秩

性质：
①方阵A满秩⇔ r(A) = n ⇔ | A | ≠ 0 ⇔ A可逆 ⇔ A非奇异 ⇔ A ≌ En
② r(A^T) = r(A)
③A ≌ B ⇔ r(A) = r(B)
④P，Q满秩 ⇔ r(PAQ) = r(A) = r(PA) = r(AQ)
⑤矩阵A乘满秩矩阵X，AX的秩 = A的秩
⑥满秩矩阵的标准型为同阶单位矩阵

11.逆矩阵（必须是方阵）

AB = BA = E，A(B)是可逆矩阵，B(A)称为A(B)的逆矩阵

逆矩阵求法：初等变换法
性质：
（1）若A可逆，(A^-1)^-1 = A、 | A^-1 | = | A |^-1 、(A^-1)^T =(A^T)^-1
（2）若AB同型且可逆，则AB可逆 (AB)^-1 = B^-1A^-1
（3）若A可逆且常数k≠0，(kA)^-1 = 1/k A^-1