【数学思维培养】罗博深小学数学青少年数学思维分级课程（3-4年级）
背景前摇：
虽然我是学理工科计算机的，但我感觉我在数学方面一直都存在劣势，无论是写程序到了涉及数学计算的地方（比如向量、余弦等），还是找程序员工作笔试大多逃不开的算法题，我都感觉数学很拖我的后腿。我从高中开始数学就不是强项，跟一些在职的同学交流思路请教以后，我感觉是我的数学思维和数感不是很好，在他们看来很清晰的题目，可能到了我这完全没有感觉。就比如说，如果给我一道完全不会的题让我思考，很大概率我只能对着题目走神。
鉴于数学思维的不够发达已经给我找了很多麻烦，我觉得有必要刻意地去培养我的数学思维。但是鉴于我对数学的刻板印象不是很好，太难的课我看不下去，我就打算找一门免费的，而且比较有意思并且我能听明白的课程。
然后我就在b站上找到了这个**《罗博深小学数学青少年数学思维分级课程】（3-4年级）》**：
https://www.bilibili.com/video/BV1Ut421571T?p=1&vd_source=cdfd0a0810bcc0bcdbcf373dafdf6a82
传送门
免费，而且情境有趣，寓教于乐，每个视频也不是很长，正好我实习的路上可以坐地铁看，对于我的水平来说也很合适，不费脑，主要介绍的是解题思路——不需要依赖纸演算，看完还能学到新东西。而且这门课程是英语授课，有字幕中英对照，还可以顺便练习英语听力。本篇笔记是我看完课程以后自己做的一些思路整理和要点笔记，欢迎大家参考借鉴。
**虽然这个课程是给3-4年级的孩子看的，但其实很多思维方式我到现在都从来没有想到过的。**对于自己不那么有天赋的学科我感觉就是要循序渐进，直接给我圆锥曲线、导数题上强度我是没有恒心学下去的，不然我高考那会三轮复习早学明白了。
看这门课的过程中我会先暂停几秒浏览一下题目，然后花几秒到半分钟不等简单想一想思路，然后就直接听老师讲解。因为我很明白我的思维方式——不擅创新，喜欢套路，让我自己无边际地空想，我只会对着题目发傻走神。就适合先告诉我个死记硬背的规律，后面再用差不多的题控制变量法慢慢训练不同的变化方式，熟悉了就学会了。每个人的思考习惯不一样，可以根据自己的爱好调整。没有一成不变的学习方式，更不要嫌弃小学的学习难度，只要知识他进了脑子就行了。我相信数学没有我们想象的那么可怕，很多时候是我们缺乏正确的思维方式，或者我们没有遇到适合我们的教学方案。要一下子成为一个数学天才、算法大佬也许很难，但是超过以前的自己真的很容易。
正文：
01 课程介绍：
100以内的质数表：如果将任意两个1以外的正整数相乘得到这些质数中的一个，答案肯定是错误的。
02 农场算数
这一讲介绍的是一种快速检查答案的方法——观察最后答案的奇偶性。
一只鸡两条腿，一只兔子四条腿，所以最后的结果一定是偶数，一眼就能看出答案不对。
这里罗老师用了一种数形结合的方法来解释，通过画点“配对”的方式来解释为什么要看最后一位。
比如24，两个10可以被配对，关键就是看4能不能配队。
03 农场理论
还是鸡兔同笼这道经典情景题目。这里罗老师引入了一个非常好的快速选择答案的方法。
一共两百条腿，这里面每只兔子贡献了四条腿，每只鸡贡献了两条腿。
因为兔子贡献的腿数量可以表示为Rabbitx4，而200可以表示成50x4，也就是说，chickenx2可以表示为某个数x4的形式。（相当于是第一个加数是很多个4，第二个加数也有很多个4，二者在一起加起来组成了50个4）
我们现在知道chickenx2可以表示为某个数x4，那么chicken的数量必须得是偶数，不然无法分出一个x2来跟腿的x2组出x4。
所以，自然只能选择三个选项里面唯一答案为偶数的那个，B选项24。
罗老师告诉我们可以通过“数论观察法”来寻找答案。
04 登山者
这道题目同样有快速得出答案的办法，其实背后是一点几何学的知识：
通过数形结合，画出代表每次登山长度的线段：
爬上爬下走的是直线，而直线是两点之间最短的距离，所以相当于这位登山者走的是最短路径，那么这条路一定小于所有其他路径的长度，所以也一定小于这三个数字相加，这个式子被称为三角不等式。
然后再通过三角不等式找最近的整数取近似，快速估计出这个路径的范围在1000以内。
那么我们原本的答案1258就一眼看出来是错误的了。
值得一提的是这道题要想算出正确答案也有其窍门，数字都是精心设计过的。
看到293和43，如果往上和往下各自多走7m，就可以凑整为300-50
这时候计算528+300-50就比之前要方便快捷得多了。
05 加或减
这道题的思路与上面的第四题有些相似，也是通过数形结合的画线段方式来求解。
对数字比较敏感的人会发现这些数都是2的指数幂（好吧其实我完全没注意到……），不过这里用不到这个知识点。此处要注意的是，这些数字在越变越小。
那么其实可以把这个过程想象成一个人在线上走路，一会向右走，一会向左走，但是每次折返的距离都比之前要小。
也就是说，最后移动的距离一定是占先手的靠右正值，因为每次向左折返的距离都只有右边的一半，所以A就排除了。
那么具体值大概会在多少呢？这又需要估算了。
第一次走了16384，然后回退了近一半，大概在8000左右，但是后面持续这个向右走一段，向左折返一半的模式的话，其实最后得出的距离一定是大于8000的（因为向右的距离一直在增加），所以B选项也不可能。
第一次走16834，折返后在8000多，之后每次向右移动的距离在减少，所以是不可能走出超过最开始16834的距离的，因此D选项17217也不可能。
C选项10923处于8000~16834之间，对应在图上的中间，是有可能停留的位置，所以选C。
其实通过这个画图分析的过程，我们能发现答案逐渐收缩在一个范围以内。这个题目的算式也很有意思，符号是从加到减从加到减这样交替变化的，被称为交替序列。
如果想追求更高深的方法，比如利用2的指数幂，就需要用到几何数列了。在这个题目中，罗老师更多强调的是数形结合的思想，通过集合感觉，观察代数来锁定一个大概的范围。
07 切披萨
这道题我觉得最重要的是不要把简单的事情想复杂。（《重要的是从几何和数论的角度来思考》，而不是脑筋急转弯）
首先根据题目画出垂直切两刀以后的结果，现在得到了四块一模一样的披萨。
然后如果不停将披萨切成相同数量大小的块，那么最后得到的披萨块数一定是4的倍数。
那么答案必定就是四的倍数，这里面只有C选项16符合条件。
然后这就结束了？？？
是的，结束了。要知道我当时脑内构思立体几何，横竖切想了半天给自己整糊涂了，觉得好像每个选项都有可能，然后询问我同学也是觉得有好几种情况，最后一看，单选题，就是这么简单个事，笑死。
08 乘法
这道题目就是个很简单的乘法题，重点在于检查答案的方法。
既然是与9相乘，那么最后的答案一定是9的倍数。9的倍数有一个特质，就是各位数字的总和加起来最后一定也是9的倍数。
比如171，1+7+1=9是9的倍数，99，9+9=18是9的倍数，99999，9+9+9+9+9=45是9的倍数。
所以，我们可以通过把自己答案的各位数字相加，通过观察相加得到的数字能不能被9整除，来验证得到的答案是否是9的倍数，如果不对那就说明算错了。
我们的答案217，2+1+7=10，不是9的倍数，所以一定算错了。
罗老师之后也用数形结合的方式向我们展示了划分9个一组的过程：
比如27里面有两个10，这两个10里面可以分出两个9，他们已经自成两组了，剩下就看2和7能不能组出一个刚好的9来。
以此类推，如果遇到一个特别大的数12348，也能用这种划分9个一组的方法来证明：
别忘了个位还有个本来就分不出9的8需要加上一起算，我当时只算了1+2+3+4半天都没搞明白咋回事。
可以看出，1+2+3+4+8=18是9的倍数，那么这个大数12348也是9的倍数。
用这个方法不仅能验证一个数能否被9整除，还能找到做除法以后的余数。
比如83，拆分成8x（9+1）+3，前面有8个9组合，剩下8+3组合来找9，正好就是各位数之和，那么余数自然也是（8+3）/9的值2了。
09 走方阵
（《这不是奥数，这是估算和数论》，我差点以为这个套路是小学奥数里面围着泳池种树的那种变态题目……）
1001人接近1000人，11行接近10行，所以每行的答案就该接近有100人。A选项已经可以退赛了。
如果答案是B的话，92的末位是2，如果x11的话最后一位数应该还是2，不可能是1001，所以C选手也遗憾退赛。
把1001/11改写成下面这个式子，最后发现是一个略大于1的数在乘一个比1小得更多的数，那么最后得到的答案一定更偏向于小于100。
在B和D选项中，B选项91符合小于100的条件，因此选择B。
而91这个数字也很神奇，看着很像质数，不可能被分解为两个数相乘，但实际上，它可以。
而1001 = 7 x 11 x 13，7，11，13彼此都是质数，而且是最接近的质数，在质数表里都是挨着的，真的很神奇，不是吗？1001真的也很容易被当成质数。
10 除椅子
这个题目的解题思路更是非常棒的数形结合案例，在之后的一讲里面这个思路还会返场。
首先用估算的方法，899近似于900，31近似30，900除以30等于30，那么答案应该近似于30。但其实39和30差得也不算很远，为了进一步验证答案的准确性，写成分数的形式对比不等式，发现答案应该是小于30的，所以原来的答案39就是错误的。
从30x30=900，到29x31=899，两个乘数一个少1，一个多1，最后结果少1，有一个很形象的图可以证明这种情况：
如图所示，30x30的正方形和29x31的长方形在绿色部分面积是完全重合的，结果一样。
但是30x30的正方形多出的部分是30x1=30，29x31的长方形多出的部分是29x1=29，所以这就是为什么最后结果比30x30的正方形少了1。
由此可见，哪怕一个看似很简单的数学问题，背后也蕴含着无穷的艺术和创造力。
11 服装搭配
这道题可以被称为这个系列视频里最简单的一个题之一，因为真的就是很简单的衬衣数量x裤子数量，没有什么特别绕弯的套路。
不过在做计算这方面有一个小技巧，现在衬衣有10+6+5=19件，裤子有3条，计算19x3，最后的结果肯定不是质数，然而A，C，D选项都是质数，所以只有B选项正确。
在做乘法题时，总是问问自己，答案是否是一个质数？如果是的话，说明答案出错了。
12 乘钢笔
这道题和上面那道11一样，做乘法，但是得出的答案89是一个质数，说明答案有错误。
回顾质数表，这里我们见到了老朋友，易错的91。
13 机场的电梯
本节课有一个全新的解决数学问题思路——应用生活常识。
一周最多是24x7=168小时，那么答案D就可以被排除了，由表格可知电梯也不是全天工作，因此答案C也不正确。
对于剩下的两个答案如何锁定，我们观察一下机场电梯工作时间表，就像是观察最后一位一样，观察一下他们各自的分钟数，发现这些数字刚好都是15分钟的整数倍——0，15，30和45。
所以，把这些工作时间加起来的话，答案也该是15分钟的倍数。因此只有B选项符合条件。
《解决一个问题可以用到你对这个世界所知道的知识》——原神，启动？！ 
这种方法可以帮助我们观察答案是否合理，并且我们可以记住168这个数字，下次再遇到某件事一周发生多少个小时的问题，记得确保答案是小于等于168的。
14 白天
这道题更多考察的是地理常识问题，北半球冬季白天短，夏季白天长，春秋昼夜平分，得出的结论是白天的时长大约是整年小时数的一半。
但如果把这个大于3650的答案和之前写的初始答案3000比较千位，发现都是3，结果就以为自己真的做对了。
看罗老师的意思，这道题反而更照顾用笨办法硬算的人，最终答案是4449。
15 原视频直接从16开始排号了，缺少15
16 乘
这道题目用6x24，6和24都是3的倍数，把6和24中的3提出来相乘，也就是说，这个答案最后是9的倍数。
9的倍数那就好办了，第8讲我们就学过，判断一个数是否是9的倍数，只需要看其各位数字相加是否是9的倍数即可。
1+2+4=7不是9的倍数，所以这个答案显然不对，那么有什么办法利用9的倍数的性质快速找到答案呢？
首先6x24，末位数必定是4，24大于20，所以最后的答案一定大于6x20=120，并且小于30x6=180，因此第一个数字是1。
现在知道这是个3位数，第一位是1，最后一位是4，并且这个数满足是9的倍数——各位数字加起来等于9，那么中间位的数字应该是9-1-4=4，因此最后得到的答案应为144。
值得一提的是144是一个很常见而且很好的数字，它可以被1-9的几乎所有数因式分解：
17 更大的数字
虽然这个算式有4项，但是每项之间相差了几十上百倍不等，因此每一项与其左边那一项相比，能造成的影响都是很小的。
比如1000205块冰淇淋，可能最后那个205就听起来不是那么重要。
101x101x101大于100x100x100，也就是说，这个数字大于1000000，那么A这个数字显然太小了，排除。D的结果足足比估算大了两倍，因此也不可能，就只剩下在B和C之间做排除。
然后看各个加数的最后一位，发现这是一个以0结尾的数字，因此答案B正确。
我们发现这样展开相乘然后合并同类项以后，就能还原得到题干。
也就是说，题干的本质就是100x100x100
其实这个式子的本质，应该是三次方公式的一种：
18 两倍的力量
这道题考察的是2的幂，通过写出从2的1次方开始的所有值就会发现，最初的答案1024实在是太小了。
2的10次方等于1024，这个数字十分接近1000，而2的30次方是1024x1024x1024，近似于1000x1000x1000，即十亿。
这也涉及到计算机里面的1GB究竟是多大的问题：科学家眼里的GB可能是1000000000，但计算机不是十进制而是二进制，所以计算机里面的1GB很多时候是下面这个2的30次方所代表的数字，1073741821。
不过这堂课的重点不是精确的《数字等于多少》，而是学会这种估算的方法。
19 原视频直接从20开始排号了，缺少19
20 大数字
这个题目其实跟前面18很类似，算式里面有很大的数字在，其他数字的影响与其相比不值一提。
99x99x99接近于100x100x100，所以答案应该近似等于1000000，现在这个39501肯定是错误的。
其实这道题的式子可以改写为（99+1）的三次方，就相当于100x100x100，跟18题一样，是三次方公式的变形。
21 9的倍数
首先看到题目会想到之前的规律——判断一个数是否是9的倍数，就看其各位数字之和是否是9的倍数。不过在这道题里面事情还可以变得更简单——这些选项的数字里面本身就有很多9，所以只需要把不是9的位数上面的数字加起来看是不是9的倍数就可以了。
这样很快就能锁定答案是D，3+2+4=9，其他位的数字都是9，那么肯定是9的倍数。
22 乘五
看到这题目我第一反应是写成（40-5）（40+5），然后算40的平方减5的平方，但这是因为我学过高中数学，我知道有这样的公式存在。
罗老师首先介绍了如何判断一个数字是否是5的倍数——看最后位数是否是0或者5。
除去5以外，类似的关于其他数的倍数规律还有以下这些：
35和45里面都有5，所以他们相乘本质上可以得到25的倍数，然后我们发现，25的整数倍得到的答案结果总是25，50，75，00这样收尾，所以我们原先的答案1615就不对，因为它不能被25整除。
另外罗老师还回顾了早先通过画正方形和长方形辅助理解的数形结合思路——比较40x40的正方形面积与35x45的长方形面积：
差距的地方就是40x5和35x5的部分，所以这个答案肯定是小于40x40，也就是1600的。
这样其实变相又回到了我们最开始会想到的差平方公式上：
23 乘还是加
这些数字排列得很好，是按从小到大的顺序排的，那么他们的总和其实就是平均数乘他们的个数。
这有11个数，但我没想到可以通过96-86+1快速的出这个答案。
所以这个式子的结果是11乘中间数，然后我们观察可知中间数是91。
罗老师的建议：计算的时候让91写在上面，这样计算个位和十位的乘法过程是相同的。这样不但速度较快，还不容易犯错误。
很容易算出答案为D，1001。
如果上过前面的课，这个数字其实是我们的老朋友：1001=91x11，即7x11x13
如果用加法计算，这道题很容易犯很多进位错误，但选择了正确的乘法就要简便得多。
24 加还是乘
题目虽然简单，但是这三个数还是很有规律：差1递增，这个时候又遇到了我们23题类似的思路——个数x平均数。
而且这个式子有一个很棒的检查方法：48是3的倍数，3x48得到的其实是9的倍数，那么就可以检查答案各位之和是不是9的倍数来判断是否算对。原本的答案134，1+3+4等于8，显然不能被9整除，因此肯定是算错了。
同时，罗老师在这里也介绍了3的倍数的特征——各位数字之和是3的倍数。
并且我们还可以更进一步利用这个9的倍数的性质推断正确答案应该是多少，48x3小于50x3，因此答案应该在100多，第一位是1，第三位是4，那么中间的数字只能是9-1-4=4，所以答案应该是144。
144这个数在之前也有出现，可以分解为12x12，3x48，这其实是一个非常神奇和巧妙的数字，之后还有更多熟悉它的机会。
最后：
这个系列的课程到这里就结束了，虽然面向的受众是3-4年级的孩子，但其中用到的很多思维方法确实我从来没有想到过，很多时候我解决数学问题的方式都很死板和麻烦。这套课程给了我很多启发，像我介绍了很多化繁为简的思考方式，我也深切感受到了巧妙的思路可以把复杂的数学问题变得很简单，选对了正确的思维方式，解题过程就像化腐朽为神奇一般的蜕变。就像罗老师说的那样，数学是一门艺术，常见的很好的数字是我们的朋友。数学是帮助我们解决问题的，并不是给我们制造麻烦的。
