线性同余方程
线性同余方程是形如 
的方程，其中a 、b、m 为给定的整数，x 是未知整数。
扩欧求解线性同余方程
void mod_slover(int a, int b, int n) {
int d, x, y, x0;
d = extend_gcd(a, n, x, y);
if (b % d != 0)
cout << "no answer";
else
x0 = x * (b / d) % n;
for (int i = 0; i <= d - 1; i++)
cout << x0 + i * (n / d) % n;
}
#include <iostream>
// 扩展欧几里得算法
int extendedEuclidean(int a, int b, int& x, int& y) {
if (b == 0) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int x1, y1;
int gcd = extendedEuclidean(b, a % b, x1, y1);
x = y1;
y = x1 - (a / b) * y1;
return gcd;
}
// 求解线性同余方程
bool solveLinearCongruence(int a, int b, int m, int& x) {
int x0, y0;
int gcd = extendedEuclidean(a, m, x0, y0);
if (b % gcd!= 0) {
return false; // 无解
}
int mod = m / gcd;
x = (x0 * (b / gcd)) % mod;
if (x < 0) {
x += mod; // 保证解为正数
}
return true;
}
int main() {
int a = 3, b = 2, m = 5;
int x;
if (solveLinearCongruence(a, b, m, x)) {
std::cout << "Solution of " << a << "x ≡ " << b << " (mod " << m << ") is: x = " << x << std::endl;
} else {
std::cout << "No solution exists." << std::endl;
}
return 0;
}-
extendedEuclidean函数用于计算两个数的最大公约数，并同时得到一组满足
的解 x0和y0。 -
solveLinearCongruence函数首先调用extendedEuclidean计算a和m的最大公约数gcd。如果b不能被gcd整除，则方程无解。 -
若有解，计算出一个特解
x，并通过取模操作和调整使其落在合法范围内（大于等于 0 且小于m / gcd）。
欧拉定理解线性同余方程
#include <iostream>
// 计算欧拉函数
int eulerPhi(int n) {
int result = n;
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
if (n % i == 0) {
result -= result / i;
while (n % i == 0) {
n /= i;
}
}
}
if (n > 1) {
result -= result / n;
}
return result;
}
// 快速幂取模
int quickPow(int a, int b, int mod) {
int res = 1;
while (b) {
if (b & 1) {
res = (long long)res * a % mod;
}
a = (long long)a * a % mod;
b >>= 1;
}
return res;
}
// 利用欧拉定理求解线性同余方程
bool solveLinearCongruenceEuler(int a, int b, int m, int& x) {
if (std::__gcd(a, m)!= 1) {
return false; // a 和 m 不互质，无解
}
int phi = eulerPhi(m);
int invA = quickPow(a, phi - 1, m); // a 的逆元
x = (long long)invA * b % m;
return true;
}
int main() {
int a = 3, b = 2, m = 5;
int x;
if (solveLinearCongruenceEuler(a, b, m, x)) {
std::cout << "Solution of " << a << "x ≡ " << b << " (mod " << m << ") is: x = " << x << std::endl;
} else {
std::cout << "No solution exists." << std::endl;
}
return 0;
}-
eulerPhi函数用于计算给定整数的欧拉函数值，通过遍历质因数并进行相应的计算得到结果。 -
quickPow函数用于快速计算幂的模运算。 -
solveLinearCongruenceEuler函数首先判断 a和m 是否互质，如果不互质则方程无解。然后计算 的欧拉函数值，找到 a的逆元，最后计算出 x 的值。
线性组合
线性同余方程组（模互素）
#include <iostream>
// 扩展欧几里得算法
int extendedEuclidean(int a, int b, int& x, int& y) {
if (b == 0) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int x1, y1;
int gcd = extendedEuclidean(b, a % b, x1, y1);
x = y1;
y = x1 - (a / b) * y1;
return gcd;
}
// 计算模逆元
int modInverse(int a, int m) {
int x, y;
int gcd = extendedEuclidean(a, m, x, y);
if (gcd!= 1) {
std::cout << "Inverse doesn't exist" << std::endl;
return -1;
} else {
return (x % m + m) % m;
}
}
// 中国剩余定理求解
int chineseRemainderTheorem(int a[], int m[], int n) {
int M = 1;
for (int i = 0; i < n; i++) {
M *= m[i];
}
int x = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int Mi = M / m[i];
int invMi = modInverse(Mi, m[i]);
x += a[i] * Mi * invMi;
}
return x % M;
}
int main() {
int a[] = {2, 3, 2};
int m[] = {3, 5, 7};
int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
int result = chineseRemainderTheorem(a, m, n);
std::cout << "Solution of the system is: " << result << std::endl;
return 0;
}
中国剩余定理
int CRT（const int a[],const int m[],int n){
int M = 1, ret = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
M *= m[i];
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
int Mi = M / m[i], ti = inv(Mi, m[i]);
ret = (ret + a[i] * a[i] * Mi * ti) % M;
}
return ret;
}
int inverse(int a, int b) {
int x, y;
excend_gcd(a, b, x, y);
return x;
}
第一类高次同余方程
第二类高次同余方程
原根的解法
【模板】原根
登录—专业IT笔试面试备考平台_牛客网
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<bits/stdc++.h>
#define endl "\n"
using namespace std;
using ll = long long;
const int N=1e6+7;
int pr[N],ph[N],fc[9],u[11],v[11],a[N];
bool f[N],b[N],p[N],q[N];
void init(int n){//线性筛，b数组记录是否有原根
b[2]=b[4]=ph[1]=1;
int i,j,k,t=0;
for(i=2;i<=n;++i){
if(!f[i])pr[++t]=i,ph[i]=i-1;
for(j=1;k=i*pr[j],k<=n&&j<=t;++j){
f[k]=1;
if(!(i%pr[j])){
ph[k]=ph[i]*pr[j];
break;
}
ph[k]=ph[i]*ph[pr[j]];
}
}
for(i=2;i<=t;++i){
for(j=1;j*1ll*pr[i]<=n;b[j*=pr[i]]=1);
for(j=2;j*1ll*pr[i]<=n;b[j*=pr[i]]=1);
}
}
int qp(int a,int b,int p){
int r=1;
while(b){
if(b&1)r=r*1ll*a%p;
a=a*1ll*a%p,b>>=1;
}
return r;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
int T,n=0,m,d,i,j,k,t,o,s;
cin>>T;
for(i=1;i<=T;++i)cin>>u[i]>>v[i],n=n>u[i]?n:u[i];
init(n);
for(o=1;o<=T;++o){
n=u[o],d=v[o];
if(!b[n]){
cout<<0<<"\n"<<endl;//如果没有原根;
continue;
}
for(i=1,j=m=ph[n],t=0;1ll*pr[i]*pr[i]<=j;++i){
if(!(j%pr[i])){
fc[++t]=s=pr[i];//求出phi(n)的质因子;
do j/=s;while(!(j%s));
for(k=s;k<=m;k+=s)p[k]=1;
}
}
if(j>1){
fc[++t]=j;
for(k=j;k<=m;k+=j)p[k]=1;
}
for(j=1;;++j){
while(qp(j,m,n)!=1)++j;
for(i=1;i<=t&&qp(j,m/fc[i],n)!=1;++i);
if(i>t)break;//t个质因数都不符合
}//快速幂求出最小原根j;
for(t=j,i=1,s=0;i<=m;++i,t=t*1ll*j%n)
if(!p[i])q[t]=1,++s;else p[i]=0;//通过最小原根求出所有原根
cout<<s<<endl;
for(i=1,j=0;i<n;++i){
if(q[i]){
q[i]=0,++j;
if(j==d)j=0,cout<<i<<" ";
}
}//排序后从小到大输出;
cout<<endl;
}
return 0;
}-
init函数：- 这是一个线性筛法的函数，用于计算小于等于
n的质数pr和每个数的欧拉函数值ph，同时通过b数组标记是否有原根。 - 首先对一些特殊情况（如 2 和 4）进行初始化。
- 然后通过两层循环，筛选出质数并计算对应的欧拉函数值。对于每个数
i和其对应的质数pr[j]，根据是否整除的情况计算ph[k]。 - 接着通过另外的循环标记有原根的数。
- 这是一个线性筛法的函数，用于计算小于等于
-
qp函数：这是一个快速幂函数，用于计算a的b次幂对p取模的结果。 -
main函数：- 首先进行输入输出的同步设置。
- 读入测试用例的数量
T和每个用例中的u[i]和v[i]，并确定最大的n值。 - 调用
init函数进行预处理。 - 对于每个测试用例：如果
n没有原根，直接输出 0 并继续下一个用例。计算phi(n)的质因子并存放在fc数组中，同时标记相关的数。通过循环找到最小原根j。基于最小原根计算所有原根，统计原根的数量s并输出。按照要求输出第d个原根。
字符串的最大公约数
力扣1071.字符串的最大公因子
class Solution {
public:
string gcdOfStrings(string str1, string str2) {
return str1+str2!=str2+str1?"":str1.substr(0,gcd(str1.size(),str2.size()));
}
};-
str1 + str2 != str2 + str1：这检查str1后跟str2是否与str2后跟str1不相等。如果它们相等，这意味着一个字符串可以被看作是另一个的旋转，可能意味着某种重复或模式。 -
gcd(str1.size(), str2.size())：这计算str1和str2长度的最大公约数（GCD）。GCD是能同时整除两者的最大数。 -
str1.substr(0, gcd(str1.size(), str2.size()))：如果第一个条件为真，它会返回str1从索引0开始，长度等于str1和str2大小的GCD的子串。这对于找出字符串中的重复模式或重复的基本单元很有用。
如果第一个条件为假（即字符串能够以任意顺序拼接），则返回空字符串""。
这种逻辑经常用于解决与字符串模式相关的问题，例如确定一个字符串是否是另一个字符串的旋转，或者找出字符串中最短的重复模式。
