【算法/题目】：递归、搜索训练

news2024/11/14 21:49:49

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🔥个人专栏：算法训练

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1. 找出所有子集的异或总和再求和

思路：

        假设存在[1,2,3]这个集合，那么开始的时候是空集合，画出其决策树

全局变量：sum和path

sum用于求异或和，path用来当进入某一层时，异或该数，

方法dfs : dfs(nums[]，pos) 在pos那层

回溯：异或运算：消消乐（相同的数异或为0）

AC代码如下：

int path, sum;
void dfs(vector<int>& nums, int pos)
{
	sum += path;
	for (int i = pos; i < nums.size(); i++)
	{
		path ^= nums[i];
		dfs(nums, i + 1);
		path ^= nums[i]; //恢复现场
	}
}
int subsetXORSum(vector<int>& nums) {
	dfs(nums, 0);
	return sum;
}

2.  N皇后

思路：

深度优先遍历（DFS）

函数名：void dfs(int r): 深度优先遍历函数。参数r：从第r行开始放棋子，处理第r行。

递归结束判定：见代码，当 r == n的时候，说明应该处理第 n行了，也代表第 0~n-1行放好棋子，也就是整个棋盘放好了棋子，也就是得到了一种解，也就是递归结束。

第r行，第i列能不能放棋子：用数组dg udl 分别表示：点对应的两个斜线以及列上是否有皇后。
dg[x + y] 表示 y行x列处，所在的对角线上有没有棋子，udg[n - x + y]表示 r行i列处，所在的反对角线上有没有棋子，cor[i]表示第i列上有没有棋子。如果 y行x列的对角线，反对角线上都没有棋子，即!col[x] && !dg[i + r] && !udg[n - i + r]为真，则代表 x行y列处可以放棋子。

AC代码如下：

vector<vector<string>> ret;
vector<string> path;
bool col[20], udg[20], dg[20];
int n;

void dfs(int pos) {
    if (pos == n) {
        ret.push_back(path);
        return;
    }
    int x = pos;
    for (int y = 0; y < n; y++) { // 尝试在这一行放皇后
        if (!col[y] && !dg[y - x + n] && !udg[y + x]) {
            col[y] = dg[y - x + n] = udg[y + x] = true;
            path[x][y] = 'Q';

            dfs(x + 1);
            path[x][y] = '.';
            col[y] = dg[y - x + n] = udg[y + x] = false;
        }
    }
}

vector<vector<string>> solveNQueens(int _n) {
    n = _n;
    path.resize(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        path[i].append(n, '.');
    }
    dfs(0);
    return ret;
}

3. 有效的数独

 

思路：

创建二维数组 rows 和 col 分别记录数独的每一行和每一列中的每个数字的出现次数

创建三维数组 grid 记录数独的每一个小九宫格中的每个数字的出现次数

        其中rows[i][num]、columns[j][num] 和 gird[i / 3] [j / 3][num] 分别表示数独的第 i 行第 j 列的单元格所在的行、列和小九宫格中，数字 num + 1 出现的次数，其中 0≤ num <9，对应的数字 num+1 满足 1≤num+1≤9。

AC代码如下：

bool col[9][10], row[9][10];
bool grid[3][3][10];
bool isValidSudoku(vector<vector<char>>& board) {
	for (int i = 0; i < 9; i++) {
		for (int j = 0; j < 9; j++) {
			if (board[i][j] != '.') {
				int num = board[i][j] - '0';
				if (row[i][num] || col[j][num] || grid[i / 3][j / 3][num])
					return false;
				row[i][num] = col[j][num] = grid[i / 3][j / 3][num] = true;
			}
		}
	}
	return true;
}

4、解数独

思路：

和上题类似的是，我们同样用

   创建二维数组 rows 和 col 分别记录数独的每一行和每一列中的每个数字的出现次数

   创建三维数组 grid 记录数独的每一个小九宫格中的每个数字的出现次数

我们首先对整个数独数组进行遍历，当我们遍历到第 i 行第 j 列的位置：

  • 如果该位置是一个空白格，那么我们将其加入一个用来存储空白格位置的列表中，方便后续的递归操作；

  • 如果该位置是一个数字 num，那么我们需要将 row[ i ][ num ]，col[ j ][num以及 block[ ⌊i/3⌋ ][ ⌊j/3⌋ ][num] 均置为 True。

当我们结束了遍历过程之后，就可以开始递归枚举。当递归到第 i 行第 j 列的位置时，我们枚举填入的数字 num。根据题目的要求，数字 num 不能和当前行、列、九宫格中已经填入的数字相同，因此 row[i][num] = col[j][num] = grid[i / 3][j / 3][num] = false;

当我们填入了数字 num 之后，我们要将上述的三个值都置为 True，并且继续对下一个空白格位置进行递归。在回溯到当前递归层时，我们还要将上述的三个值重新置为 False。

AC代码如下：

bool row[9][10], col[9][10];//储存每一行每一列存在的数字 
bool grid[3][3][10]; //储存每一个 3*3宫存在的数字

bool dfs(vector<vector<char>>& board) {
	for (int i = 0; i < 9; i++) {
		for (int j = 0; j < 9; j++) {
			if (board[i][j] == '.') {
				//填数
				for (int num = 1; num <= 9; num++) {
					if (!row[i][num] && !col[j][num] && !grid[i / 3][j / 3][num]) {
						board[i][j] = '0' + num;
						row[i][num] = col[j][num] = grid[i / 3][j / 3][num] = true;
						if (dfs(board) == true) return true;

						//恢复现场
						board[i][j] = '.';
						row[i][num] = col[j][num] = grid[i / 3][j / 3][num] = false;
					}
				}
				// 当前格子 1- 9 都不能填，那么就只能返回到上一个格子进行修改
				return false;
			}
		}
	}
	return true;
}

void solveSudoku(vector<vector<char>>& board) {
	//初始化
	for (int i = 0; i < 9; i++) {
		for (int j = 0; j < 9; j++) {
			if (board[i][j] != '.') {
				int num = board[i][j] - '0';
				row[i][num] = col[j][num] = grid[i / 3][j / 3][num] = true;
			}
		}
	}
	dfs(board);
}

5、单词搜索

思路：

设函数 dfs（board，words，x，y，pos） 表示判断以网格的 （x，y）位置出发，能否搜索到单词 words[pos..]，其中 words[pos..] 表示字符串 word 从第 pos 个字符开始的后缀子串。如果能搜索到，则返回 true，反之返回 false。函数 dfs（board，words，x，y，pos）的执行步骤如下：

  • 如果 board[ x ][ y ] = words[pos]，当前字符不匹配，直接返回 false。
  • 如果当前已经访问到字符串的末尾，且对应字符依然匹配，此时直接返回 true。
  • 否则，遍历当前位置的所有相邻位置。如果从某个相邻位置出发，能够搜索到子串 word[pos+1..]，则返回 true，否则返回 false。

这样，我们对每一个位置 （x，y）都调用函数 dfs（board，words，x，y，pos）进行检查：只要有一处返回 true，就说明网格中能够找到相应的单词，否则说明不能找到。

为了防止重复遍历相同的位置，需要额外维护一个与 board 等大的 st 数组，用于标识每个位置是否被访问过。每次遍历相邻位置时，需要跳过已经被访问的位置。

注意：

if (dfs(board, word, i, j, 0)) return true;，而不是return dfs(board, word, i, j, 0)；

AC代码如下：

int dir[4][2] = {
		{1,0},{0,1},{-1,0},{0,-1}
};
int n, m;
bool st[505][505];

bool dfs(vector<vector<char>>& board, string word, int x, int y, int pos) {
	if (pos == word.size()) return true;
	//向量的方式，定义上下左右四个位置

	for (int i = 0; i < 4; i++) {
		int dx = x + dir[i][0], dy = y + dir[i][1];
		if (dx >= 0 && dx < n && dy >= 0 && dy < m && board[dx][dy] == word[pos] && !st[dx][dy]) {
			st[dx][dy] = true;
			if (dfs(board, word, dx, dy, pos + 1)) return true;
			st[dx][dy] = false;
		}
	}
	return false;
}

bool exist(vector<vector<char>>& board, string word) {
	n = board.size(), m = board[0].size();
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		for (int j = 0; j < m; j++) {
			if (board[i][j] == word[0]) {
				st[i][j] = true;
				if (dfs(board, word, i, j, 1)) return true;
				st[i][j] = false;
			}
		}
	}
	return false;
}

6、黄金矿工

思路：

该题与上题解题步骤基本类似，只不过该题需要多加一个参数sum，来记录每条的和，然后求出最大值即可。

AC代码如下：

int dir[4][2] = {
    {1,0},{0,1},{-1,0},{0,-1}
};
int maxi = 0;
int n, m;
bool st[505][505];

void dfs(vector<vector<int>>& grid, int x, int y, int sum) {
    maxi = max(maxi, sum);
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        int dx = x + dir[i][0], dy = y + dir[i][1];
        if (dx >= 0 && dx < n && dy >= 0 && dy < m && grid[dx][dy] > 0 && !st[dx][dy]) {
            st[dx][dy] = true;
            dfs(grid, dx, dy, sum + grid[dx][dy]);
            st[dx][dy] = false;

        }
    }
}

int getMaximumGold(vector<vector<int>>& grid) {
    n = grid.size(), m = grid[0].size();
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            if (grid[i][j] != 0) {
                st[i][j] = true;
                dfs(grid, i, j, grid[i][j]);
                st[i][j] = false;
            }
        }
    }
    return maxi;
}

7、不同路径III

思路：

该题我们选择dfs的方法，主要步骤和 5、6题过程类似，但是在进行dfs之前，我们先需要做一些初始化的步骤，比如找到起始位置，和记录应该需要走的总步数

AC代码如下：

bool st[25][25];
int dir[4][2] = {
    {1,0},{0,1},{-1,0},{0,-1}
};
int ret, step; //统计走的方法，和需要走的总步数
int n, m;

void dfs(vector<vector<int>>& grid, int x, int y, int cnt) {
    if (grid[x][y] == 2) { //走到终止位置
        if (cnt == step) ret++; //看是否走完所有路程
        return;
    }
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        int dx = x + dir[i][0], dy = y + dir[i][1];
        if (dx >= 0 && dx < n && dy >= 0 && dy < m && grid[dx][dy] != -1 && !st[dx][dy]) {
            st[dx][dy] = true;
            dfs(grid, dx, dy, cnt + 1);
            st[dx][dy] = false;
        }
    }
}

int uniquePathsIII(vector<vector<int>>& grid) {
    n = grid.size(), m = grid[0].size();
    
    int bx = 0, by = 0; //记录起始位置
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            if (grid[i][j] == 0) step++; // 统计需要走的总步数
            else if (grid[i][j] == 1) bx = i, by = j;
        }
    }
    step += 2; //还需要加上起始位置和终止位置走的步数
    st[bx][by] = true;
    dfs(grid, bx, by, 1);
    return ret;
}

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