Prim算法
算法描述
dist[i]<--
for(i =0;i<n;i++)
t<--找到集合外最近的点
用t更新其他点到集合的距离（这个集合就是已经确定的最小生成树的点和边）
st[t] = true;
-
dist[i] <-- 无穷这一步是初始化所有节点到集合的最小距离为无穷大。
dist[i]表示从已选节点集合到节点i的最小边权值。在算法开始时，所有的节点距离都是无穷大，因为还没有选择任何节点。for (i = 0; i < n; i++) { dist[i] = INF; // INF 代表无穷大 } -
for (i = 0; i < n; i++)这是一个循环，用来初始化每个节点的距离。通常情况下，这里的
n是图中节点的数量。在 Prim 算法中，我们会从集合中逐步选出节点，因此一开始要设置所有节点的距离。for (i = 0; i < n; i++) { // 初始化 dist 数组 } -
t <-- 找到集合外最近的点这一部分是 Prim 算法的核心。
t是当前最小生成树（MST）中包含的节点集合之外的节点中，距离集合最近的节点。这个节点t是当前最小边权值的节点，且这个节点在生成树中尚未包含。int t = -1; for (i = 0; i < n; i++) { if (!st[i] && (t == -1 || dist[i] < dist[t])) { t = i; } }在这个代码片段中，
st是一个布尔数组，用来表示节点是否已被加入到生成树中。dist[i]是节点i到生成树中节点的最小距离。 -
用 t 更新其他点到集合的距离一旦找到
t，你需要更新所有与t相连的、尚未被包含在生成树中的节点的距离。如果通过t到某个节点v的边权值更小，就更新dist[v]。for (每个与 t 相连的节点 v) { if (!st[v] && edge(t, v) < dist[v]) { dist[v] = edge(t, v); } }这里
edge(t, v)表示从节点t到节点v的边的权值。 -
st[t] = true最后，将
t标记为已经包含在生成树中。这表示节点t现在是最小生成树的一部分，不再需要考虑t的边来更新其他节点的距离。st[t] = true;这里
st是一个布尔数组，st[i]为true表示节点i已经被包含在生成树中。
图例
已知有下面树：
第一步：初始化，将所有点距离集合的距离设置为无穷，此时所有点都没有加入集合。
将节点1加入集合(此时所有点距离集合都是inf，所以可以随便找到一个点
根据节点1更新其他点到集合的最小距离，暂时将2、3、4更新为(1)(2)(3)。
然后将节点1放入集合
再找到集合外最近的点2号点。
根据2号点更新其他不在集合的点的距离，此时没有借助2号点能变得更小的，因此不变。
将2号点放入集合中。
再次找到不在集合中的最小的点，即3号点。
根据3号点更新距离，没有改变
将3号点放入集合
继续找4号点，也没有更新距离。
算法结束。
例题
858. Prim算法求最小生成树 - AcWing题库
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N =510,INF=100000000;
int g[N][N],dist[N];
bool st[N];
int n,m;
int prim(){
fill(dist,dist+N,INF);
int res=0;
dist[1] = 0;//把第一个点设置为0方便后面操作。
for(int i=0;i<n;i++){
int t=-1;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(!st[j] && (t ==-1 || dist[t] > dist[j]))
{//注意，这里是比较dist[t] > dist[j],在st==false的点中找到一个最小的
t = j;
}
}
if(dist[t]==INF){
return INF;
}//不是第一次轮回的，一定有一个最小的点，如果没有说明不连通。
res += dist[t];//这两步一定要在前面，因为这是将t放入集合，后面才不会再次更新t了
st[t] = true;
//根据节点t更新其他距离。
for(int j=1;j<=n;j++){
if(!st[j]){
dist[j] = min(dist[j],g[t][j]);//这里省去了判断两个点是否有边，即使没有边也是INF
}
}
}
return res;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
g[i][j] = INF;
}
}
for(int i=0;i<m;i++){
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
g[a][b] = g[b][a] = min(c,g[a][b]);//一定要注意只存储最小边。
}
for(int i=1;i<=n;i++) g[i][i] = 0;//解决自环问题
int ans = prim();
if(ans == INF) printf("impossible");
else printf("%d",ans);
return 0;
}Kruskal算法
算法描述：
将每一条边按照权重从小到大排序
枚举每一条边a,b权重是c
如何a、b所在集合不连通，将a-b加入到集合中去。
这里判断a、b是否在同意集合需要用并查集来解决。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5+10,M=2*N;
int res,p[N],n,m,st[N],cnt;
struct E{
int a,b,w;
bool operator<(const E &e){
return this->w<e.w;
}
}Edges[M];//注意存储的是边
int myfind(int x){
if(x!=p[x]) p[x] = myfind(p[x]);
return p[x];
}
int krus(){
for(int i=1;i<=m;i++){
E e = Edges[i];
int sa = myfind(e.a);
int sb = myfind(e.b);
if(sa != sb){
res+=e.w;
p[sb] = sa;
cnt++;
}
}
if(cnt<n-1) return 0;
return res;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
p[i] = i;
}
for(int i=1;i<=m;i++){
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
Edges[i].a=a;
Edges[i].b=b;
Edges[i].w=c;
}
sort(Edges+1,Edges+m+1);
int tag = krus();
if(tag==0) cout<<"impossible";
else{
cout<<tag;
}
return 0;
}
