【机器学习】逻辑回归的梯度下降以及在一变量数据集、两变量数据集下探索优化的梯度下降算法

引言

在机器学习中，逻辑回归是一种用于二分类问题的方法。它使用逻辑函数（也称为sigmoid函数）来预测属于某个类别的概率。逻辑回归的损失函数通常是交叉熵损失，用于衡量预测值与真实值之间的差异

文章目录

引言
一、逻辑回归的梯度下降
- 1.1 逻辑回归的梯度下降算法的Python代码示例
- 1.2 代码解释
- 1.3 代码注意点
二、逻辑回归的梯度下降
- 2.1 导入第三方库
- 2.2 数据集
- 2.3 逻辑梯度下降
- 2.4 梯度下降实现
- 2.5 计算梯度的代码描述
- 2.6 梯度下降法代码
- 2.7 另一个数据集
- 2.8 总结

一、逻辑回归的梯度下降

1.1 逻辑回归的梯度下降算法的Python代码示例

这段代码将展示如何计算损失函数的梯度，并更新模型参数

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Time    : 2024/8/2 22:31
# @Software: PyCharm
# @Author  : xialiwei
# @Email   : xxxxlw198031@163.com

import numpy as np
# sigmoid函数，用于逻辑回归的预测
def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))
# 逻辑回归的损失函数
def log_loss(h, y):
    return (-y * np.log(h) - (1 - y) * np.log(1 - h)).mean()
# 计算梯度
def compute_gradient(X, y, w, b):
    m = len(y)
    z = np.dot(X, w) + b
    h = sigmoid(z)
    error = h - y
    dw = (1/m) * np.dot(X.T, error)
    db = (1/m) * np.sum(error)
    return dw, db
# 梯度下降算法
def gradient_descent(X, y, w_init, b_init, learning_rate, num_iterations):
    w = w_init
    b = b_init
    for i in range(num_iterations):
        dw, db = compute_gradient(X, y, w, b)
        w -= learning_rate * dw
        b -= learning_rate * db
        # 可选：打印损失值，以便观察收敛情况
        if i % 100 == 0:
            z = np.dot(X, w) + b
            h = sigmoid(z)
            loss = log_loss(h, y)
            print(f"Iteration {i}: Loss {loss}")
    return w, b
# 示例数据（这里需要你自己准备数据集X和标签y）
# X = ... # 特征矩阵，形状为 (num_samples, num_features)
# y = ... # 标签向量，形状为 (num_samples,)
X_train = np.array([[0.5, 1.5], [1,1], [1.5, 0.5], [3, 0.5], [2, 2], [1, 2.5]])
y_train = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])
# 初始化参数
w_init = np.zeros(X_train.shape[1])
b_init = 0
# 设置学习率和迭代次数
learning_rate = 0.01
num_iterations = 9000
# 执行梯度下降
w_final, b_final = gradient_descent(X_train, y_train, w_init, b_init, learning_rate, num_iterations)

1.2 代码解释

在这个代码中：

sigmoid 函数用于计算逻辑回归的预测值
log_loss 函数用于计算损失
compute_gradient 函数用于计算损失函数关于模型参数的梯度
最后gradient_descent 函数实现了梯度下降算法，通过迭代更新模型参数

1.3 代码注意点

这段代码是一个简化的示例，实际应用中可能需要对数据进行预处理，比如特征缩放，并且可能需要添加正则化项来防止过拟合
学习率、迭代次数和其他超参数可能需要根据具体问题进行调整

二、逻辑回归的梯度下降

2.1 导入第三方库

import copy, math
import numpy as np
%matplotlib widget
import matplotlib.pyplot as plt
from lab_utils_common import  dlc, plot_data, plt_tumor_data, sigmoid, compute_cost_logistic
from plt_quad_logistic import plt_quad_logistic, plt_prob
plt.style.use('./deeplearning.mplstyle')

2.2 数据集

从决策边界实验中使用的同一个双特征数据集开始

X_train = np.array([[0.5, 1.5], [1,1], [1.5, 0.5], [3, 0.5], [2, 2], [1, 2.5]])
y_train = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])

像之前一样，我们将使用一个辅助函数来绘制这些数据。标签为𝑦=1的数据点用红色十字表示，而标签为𝑦=0的数据点用蓝色圆圈表示。

fig,ax = plt.subplots(1,1,figsize=(4,4))
plot_data(X_train, y_train, ax)

ax.axis([0, 4, 0, 3.5])
ax.set_ylabel('$x_1$', fontsize=12)
ax.set_xlabel('$x_0$', fontsize=12)
plt.show()

输出结果：
在这里插入图片描述

2.3 逻辑梯度下降

回忆一下，梯度下降算法利用梯度计算：
重复直到收敛：
$\begin{align*} &\text{repeat until convergence:} \; \lbrace \\ & \; \; \;w_j = w_j - \alpha \frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial w_j} \tag{1} \; & \text{for j := 0..n-1} \\ & \; \; \; \; \;b = b - \alpha \frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial b} \\ &\rbrace \end{align*}$

每次迭代都对所有的𝑤𝑗执行同时更新，其中
$\begin{align*} \frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial w_j} &= \frac{1}{m} \sum\limits_{i = 0}^{m-1} (f_{\mathbf{w},b}(\mathbf{x}^{(i)}) - y^{(i)})x_{j}^{(i)} \tag{2} \\ \frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial b} &= \frac{1}{m} \sum\limits_{i = 0}^{m-1} (f_{\mathbf{w},b}(\mathbf{x}^{(i)}) - y^{(i)}) \tag{3} \end{align*}$

$m$ 是数据集中的训练示例数量
$f_{\mathbf{w},b}(x^{(i)})$ 是模型的预测，而 $y^{(i)}$ 是目标值
对于逻辑回归模型
– $\mathbf{w} \cdot \mathbf{x} + b$
– $f_{\mathbf{w},b}(x) = g(z)$
– 其中𝑔(𝑧)是sigmoid函数： $\frac{1}{1+e^{-z}}$

2.4 梯度下降实现

梯度下降算法实现包含两个部分：

实现上述方程（1）的循环。这是下面的gradient_descent，通常在可选和实践实验中提供给您
计算当前梯度，上述方程（2,3）。这是compute_gradient_logistic。这周您将在实践实验中实现这个

2.5 计算梯度的代码描述

实现上述方程（2,3）对于所有的𝑤𝑗和𝑏。有很多种实现方式。下面是其中一种：
初始化变量以累积dj_dw和dj_db，对于每个示例，计算该示例的错误𝑔(𝐰⋅𝐱(𝑖)+𝑏)−𝐲(𝑖)，对于该示例中的每个输入值𝑥(𝑖)𝑗，，将错误乘以输入𝑥(𝑖)𝑗，并加到dj_dw的对应元素上。（方程2）将错误加到dj_db上（方程3）将dj_db和dj_dw除以示例总数（m）

注意，在numpy中𝐱(𝑖)是X[i,:]或X[i]，而𝑥(𝑖)𝑗是X[i,j]

def compute_gradient_logistic(X, y, w, b): 
    """
    Computes the gradient for linear regression 
 
    Args:
      X (ndarray (m,n): Data, m examples with n features
      y (ndarray (m,)): target values
      w (ndarray (n,)): model parameters  
      b (scalar)      : model parameter
    Returns
      dj_dw (ndarray (n,)): The gradient of the cost w.r.t. the parameters w. 
      dj_db (scalar)      : The gradient of the cost w.r.t. the parameter b. 
    """
    m,n = X.shape
    dj_dw = np.zeros((n,))                           #(n,)
    dj_db = 0.

    for i in range(m):
        f_wb_i = sigmoid(np.dot(X[i],w) + b)          #(n,)(n,)=scalar
        err_i  = f_wb_i  - y[i]                       #scalar
        for j in range(n):
            dj_dw[j] = dj_dw[j] + err_i * X[i,j]      #scalar
        dj_db = dj_db + err_i
    dj_dw = dj_dw/m                                   #(n,)
    dj_db = dj_db/m                                   #scalar
        
    return dj_db, dj_dw

检查以下代码中梯度函数的实现

X_tmp = np.array([[0.5, 1.5], [1,1], [1.5, 0.5], [3, 0.5], [2, 2], [1, 2.5]])
y_tmp = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])
w_tmp = np.array([2.,3.])
b_tmp = 1.
dj_db_tmp, dj_dw_tmp = compute_gradient_logistic(X_tmp, y_tmp, w_tmp, b_tmp)
print(f"dj_db: {dj_db_tmp}" )
print(f"dj_dw: {dj_dw_tmp.tolist()}" )

输出结果：
在这里插入图片描述
预期结果：
dj_db: 0.49861806546328574
dj_dw: [0.498333393278696, 0.49883942983996693]

结论：输出结果与预期结果一致

2.6 梯度下降法代码

下面是实现上述方程（1）的代码。
将程序中的函数与上面的方程进行比较。

def gradient_descent(X, y, w_in, b_in, alpha, num_iters): 
    """
    Performs batch gradient descent
    
    Args:
      X (ndarray (m,n)   : Data, m examples with n features
      y (ndarray (m,))   : target values
      w_in (ndarray (n,)): Initial values of model parameters  
      b_in (scalar)      : Initial values of model parameter
      alpha (float)      : Learning rate
      num_iters (scalar) : number of iterations to run gradient descent
      
    Returns:
      w (ndarray (n,))   : Updated values of parameters
      b (scalar)         : Updated value of parameter 
    """
    # An array to store cost J and w's at each iteration primarily for graphing later
    J_history = []
    w = copy.deepcopy(w_in)  #avoid modifying global w within function
    b = b_in
    
    for i in range(num_iters):
        # Calculate the gradient and update the parameters
        dj_db, dj_dw = compute_gradient_logistic(X, y, w, b)   

        # Update Parameters using w, b, alpha and gradient
        w = w - alpha * dj_dw               
        b = b - alpha * dj_db               
      
        # Save cost J at each iteration
        if i<100000:      # prevent resource exhaustion 
            J_history.append( compute_cost_logistic(X, y, w, b) )

        # Print cost every at intervals 10 times or as many iterations if < 10
        if i% math.ceil(num_iters / 10) == 0:
            print(f"Iteration {i:4d}: Cost {J_history[-1]}   ")
        
    return w, b, J_history         #return final w,b and J history for graphing

在我们的数据集上跑梯度下降的代码

w_tmp  = np.zeros_like(X_train[0])
b_tmp  = 0.
alph = 0.1
iters = 10000

w_out, b_out, _ = gradient_descent(X_train, y_train, w_tmp, b_tmp, alph, iters) 
print(f"\nupdated parameters: w:{w_out}, b:{b_out}")

输出结果：
在这里插入图片描述

绘制梯度下降结果的代码：

fig,ax = plt.subplots(1,1,figsize=(5,4))
# plot the probability 
plt_prob(ax, w_out, b_out)

# Plot the original data
ax.set_ylabel(r'$x_1$')
ax.set_xlabel(r'$x_0$')   
ax.axis([0, 4, 0, 3.5])
plot_data(X_train,y_train,ax)

# Plot the decision boundary
x0 = -b_out/w_out[1]
x1 = -b_out/w_out[0]
ax.plot([0,x0],[x1,0], c=dlc["dlblue"], lw=1)
plt.show()

绘制结果：
在这里插入图片描述
在上面的图中：

着色反映了概率y=1（在决策边界之前的结果）
决策边界是概率等于0.5的线

2.7 另一个数据集

让我们回到一个一变量数据集。只有两个参数，𝑤和𝑏，我们可以在等高线图中绘制成本函数，以更好地了解梯度下降在做什么。

x_train = np.array([0., 1, 2, 3, 4, 5])
y_train = np.array([0,  0, 0, 1, 1, 1])

我们将使用一个辅助函数来绘制这些数据。标签为𝑦=1的数据点用红色十字表示，而标签为𝑦=0的数据点用蓝色圆圈表示

fig,ax = plt.subplots(1,1,figsize=(4,3))
plt_tumor_data(x_train, y_train, ax)
plt.show()

绘制结果：
在这里插入图片描述

在下面的图中，尝试：

通过点击上右角的等高线图来更改𝑤和𝑏
– 更改可能需要一秒钟或两秒钟
– 注意上左图中的成本值的变化
– 注意成本是通过每个示例的损失累积的（垂直虚线）
通过点击橙色按钮运行梯度下降
– 注意成本稳步下降（等高线和成本图以对数成本显示）
– 在等高线图中点击将重置模型以进行新的运行
– 要重置图表，重新运行此单元格

w_range = np.array([-1, 7])
b_range = np.array([1, -14])
quad = plt_quad_logistic( x_train, y_train, w_range, b_range )

绘制结果：

运行梯度下降前：
运行梯度下降后：

2.8 总结

检查了逻辑回归的梯度计算公式和实现，在这些例行程序中进行了探索一变量数据集、两变量数据集
更新逻辑回归的梯度下降算法
在一个熟悉的数据集上探索梯度下降