Variational Mode Decomposition (VMD) 的详细介绍

VMD 是一种信号分解方法，旨在将复杂信号分解为若干个具有不同频率成分的模态。它的基本思想是通过变分优化的方式，得到一组模态信号，这些模态信号在频域上彼此分离。

1. 问题定义

假设我们有一个观测信号 $x(t)$，VMD 的目标是将其分解成 $K$ 个模态信号 $u_k(t)$ $(k=1,2,...,K)$，每个模态信号具有不同的中心频率 ${\omega }_k$​。此外，我们希望这些模态信号满足以下两个条件：

1. 模态信号的频谱分布是集中在某个频段的。
2. 模态信号之间相互正交，即它们的频谱在频域上有足够的分离度。

3. 优化过程

1. 初始化：选择初始模态信号 $u_k(t)$ 和频率 ${\omega }_k$​。可以使用随机初始化方法。

2. 迭代优化：

   • 更新模态信号：在固定中心频率的情况下，更新每个模态信号 $u_k(t)$ 使得信号重建误差最小，同时保持模态信号的平滑性。
   • 更新中心频率：在固定模态信号的情况下，更新每个模态的中心频率 ${\omega }_k$​ 使得每个模态信号的频谱分布集中在预定的频段。

3. 收敛判断：重复迭代直到目标函数收敛或达到预设的精度容限 $\text{tol}$。

4. 数学优化

VMD 使用了拉格朗日乘子法来处理约束条件。具体来说，VMD 将目标函数转换为一个带有约束的拉格朗日函数，并通过变分法来优化。优化过程中，模态信号的频谱分布在频域上被设计为具有最大分离度，从而减少模态之间的重叠。

降噪实现

接下来是如何在实际应用中使用 VMD 进行降噪的步骤。我们将以一个包含噪声的信号为例，通过 VMD 分解并选择主要模态信号来去除噪声。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from vmdpy import VMD

# 创建一个示例信号
fs = 1000  # 采样频率
t = np.linspace(0, 1, fs, endpoint=False)  # 时间向量
# 原始信号（正弦波）加上高频噪声
signal = np.sin(2 * np.pi * 50 * t) + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * 120 * t) + 0.3 * np.random.normal(size=fs)

# VMD分解参数
alpha = 2000  # 平滑性约束
tau = 0.  # 时间步长
K = 3  # 模态数量
DC = 0  # 是否包含直流分量
init = 1  # 初始化方法
tol = 1e-6  # 误差容限

# 使用VMD进行分解
u, _, _ = VMD(signal, alpha, tau, K, DC, init, tol)

# 选择需要的模态信号，通常是前几个模态（去除噪声）
# 在此示例中，我们选择前两个模态
selected_modes = u[:2]

# 重建信号
denoised_signal = np.sum(selected_modes, axis=0)

# 绘制结果
plt.figure(figsize=(12, 8))

plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, signal, label='Noisy Signal')
plt.plot(t, denoised_signal, label='Denoised Signal')
plt.legend()

plt.subplot(2, 1, 2)
for i, mode in enumerate(u):
    plt.plot(t, mode, label=f'Mode {i+1}')
plt.title('Decomposed Modes')
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

结果展示

参数解释与调整

1. alpha (平滑性约束)：

   • 作用：控制模态的平滑性。较大的 alpha 值会使模态更加平滑。
   • 调整建议：从 1000 到 2000 开始尝试。如果模态过于粗糙或过于光滑，可以相应调整 alpha。

2. tau (时间步长)：

   • 作用：控制优化的步长，通常设置为 0。
   • 调整建议：大多数情况下保持为 0，也可以尝试其他值来观察变化。

3. K (模态数量)：

   • 作用：指定将信号分解成多少个模态。选择过少可能无法有效分离信号和噪声，选择过多可能引入额外噪声。
   • 调整建议：从 2 到 10 进行尝试，观察分解效果。

4. DC (是否包含直流分量)：

   • 作用：决定是否包括直流分量，通常设置为 0。
   • 调整建议：保持为 0。

5. init (初始化方法)：

   • 作用：设置模态初始化的方法，1 表示随机初始化。
   • 调整建议：一般保持为默认值 1，可以尝试不同初始化方法进行比较。

6. tol (误差容限)：

   • 作用：控制算法的收敛精度，较小的值会提高精度，但计算时间增加。
   • 调整建议：通常设置为 1e-6，也可以尝试更小的值以提高精度。