代码随想录算法训练营第五十三天|● 1143.最长公共子序列 ● 1035.不相交的线 ● 53. 最大子序和 动态规划

news2024/12/26 0:16:06

一、1143.最长公共子序列

题目:

给定两个字符串 text1 和 text2,返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串:它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符(也可以不删除任何字符)后组成的新字符串。

例如,"ace" 是 "abcde" 的子序列,但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列,则返回 0。

示例 1:

输入:text1 = "abcde", text2 = "ace" 输出:3 解释:最长公共子序列是 "ace",它的长度为 3。

示例 2:

输入:text1 = "abc", text2 = "abc" 输出:3 解释:最长公共子序列是 "abc",它的长度为 3。

示例 3:

输入:text1 = "abc", text2 = "def" 输出:0 解释:两个字符串没有公共子序列,返回 0。

提示:

  • 1 <= text1.length <= 1000
  • 1 <= text2.length <= 1000 输入的字符串只含有小写英文字符。

思路:

子序列 是指这样一个新的字符串:它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符(也可以不删除任何字符)后组成的新字符串。

动规五部曲分析如下:

1、确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i][j]:长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]

有同学会问:为什么要定义长度为[0, i - 1]的字符串text1,定义为长度为[0, i]的字符串text1不香么?

这样定义是为了后面代码实现方便,如果非要定义为长度为[0, i]的字符串text1也可以,我在 动态规划:718. 最长重复子数组 (opens new window)中的「拓展」里 详细讲解了区别所在,其实就是简化了dp数组第一行和第一列的初始化逻辑。

2、确定递推公式

主要就是两大情况: text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同,text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同,那么找到了一个公共元素,所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同,那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列,取最大的。

即:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

代码如下:

if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}

3、dp数组如何初始化

先看看dp[i][0]应该是多少呢?

test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0,所以dp[i][0] = 0;

同理dp[0][j]也是0。

其他下标都是随着递推公式逐步覆盖,初始为多少都可以,那么就统一初始为0。

代码:

vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));

4、确定遍历顺序

从递推公式,可以看出,有三个方向可以推出dp[i][j],二维数组里,i+1,j+1,(i+1)&(j+1)方向。

5、举例推导dp数组

/*
	二维dp数组
*/
class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int[][] dp = new int[text1.length() + 1][text2.length() + 1]; // 先对dp数组做初始化操作
        for (int i = 1 ; i <= text1.length() ; i++) {
            char char1 = text1.charAt(i - 1);
            for (int j = 1; j <= text2.length(); j++) {
                char char2 = text2.charAt(j - 1);
                if (char1 == char2) { // 开始列出状态转移方程
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[text1.length()][text2.length()];
    }
}



/**
	一维dp数组
*/
class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int n1 = text1.length();
        int n2 = text2.length();

        // 多从二维dp数组过程分析  
        // 关键在于  如果记录  dp[i - 1][j - 1]
        // 因为 dp[i - 1][j - 1]  <!=>  dp[j - 1]  <=>  dp[i][j - 1]
        int [] dp = new int[n2 + 1];

        for(int i = 1; i <= n1; i++){

            // 这里pre相当于 dp[i - 1][j - 1]
            int pre = dp[0];
            for(int j = 1; j <= n2; j++){

                //用于给pre赋值
                int cur = dp[j];
                if(text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)){
                    //这里pre相当于dp[i - 1][j - 1]   千万不能用dp[j - 1] !!
                    dp[j] = pre + 1;
                } else{
                    // dp[j]     相当于   dp[i - 1][j]
                    // dp[j - 1] 相当于   dp[i][j - 1]
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - 1]);
                }

                //更新dp[i - 1][j - 1], 为下次使用做准备
                pre = cur;
            }
        }

        return dp[n2];
    }
}

二、1035.不相交的线  

题目:

我们在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 A 和 B 中的整数。

现在,我们可以绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线,只要 A[i] == B[j],且我们绘制的直线不与任何其他连线(非水平线)相交。

以这种方法绘制线条,并返回我们可以绘制的最大连线数。

思路:

和上题一模一样。

三、53. 最大子序和(动态规划)   

题目:

给定一个整数数组 nums ,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]

输出: 6

解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6。

思路:

之间贪心算法做过这道题。

动规五部曲如下:

1、确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i]:包括下标i(以nums[i]为结尾)的最大连续子序列和为dp[i]

2、确定递推公式

dp[i]只有两个方向可以推出来:

  • dp[i - 1] + nums[i],即:nums[i]加入当前连续子序列和
  • nums[i],即:从头开始计算当前连续子序列和

一定是取最大的,所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

3、dp数组如何初始化

从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态,dp[0]就是递推公式的基础。

根据dp[i]的定义,很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。

4、确定遍历顺序

递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态,需要从前向后遍历。

5、举例推导dp数组

   /**
     * 1.dp[i]代表当前下标对应的最大值
     * 2.递推公式 dp[i] = max (dp[i-1]+nums[i],nums[i]) res = max(res,dp[i])
     * 3.初始化 都为 0
     * 4.遍历方向,从前往后
     * 5.举例推导结果。。。
     *
     * @param nums
     * @return
     */
    public static int maxSubArray(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) {
            return 0;
        }

        int res = nums[0];
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
            res = res > dp[i] ? res : dp[i];
        }
        return res;
    }
//因为dp[i]的递推公式只与前一个值有关,所以可以用一个变量代替dp数组,空间复杂度为O(1)
class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int res = nums[0];
        int pre = nums[0];
        for(int i = 1; i < nums.length; i++) {
            pre = Math.max(pre + nums[i], nums[i]);
            res = Math.max(res, pre);
        }
        return res;
    }
}

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