学了忘忘了学o(╥﹏╥)o

讲解前缀和

什么时候用到前缀和呢？一般题目涉及到数组任意序列或者矩阵的话都有可能考点是前缀和。

一维，用于序列

具体做法：
首先做个预处理，定义一个sum[]数组，sum[i]代表a数组中前i个数的和。
求前缀和运算：

const int N = 1e5+10;
int sum[N], a[N]; //sum[i] = a[1] + a[2] + a[3] ..... a[i];
for(int i = 1; i <= n;i++)
{ 
    sum[i] = sum[i - 1] + a[i];   
}

如果想知道a1…an中任意一段的和，比如 a[l] 到a[r]

 scanf("%d%d", &l, &r);//l是起始，r是终点
 printf("%d\n", sum[r] - sum[l - 1]);//因为需要包括a[l]

二维，用于矩阵

矩阵的s[i, j]是表示以(1,1)为左上角节点，(i，j)为右下角节点的的矩阵和

求二维前缀和公式为：
s[i,j] = s[i - 1, j] + s[i, j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j]
所以应用在代码上：

// 求 s[i, j]
for(int i = 1; i <= n; i++){
  for(int j = 1; j <=m; j++){
     s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
  }
}

如果想知道以(x1, y1)为左上角坐标，(x2， y2)为右下角坐标的句子

cout << s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1]

讲解差分

什么是差分数组？

差分一听，啥jb玩意啊，其实就是前缀和倒过来，s是a的前缀和数组，a是s的差分数组

未来的小dream
我本来打算这里简单写的，但是感觉我未来会有忘记的一天，痛定思痛写详细一点o(╥﹏╥)o谁赐我一个过目不忘的脑子

这块注意是，原数组a改动了之后，对应前缀和数组s的变化
假设a数组[3,1,2,5,7]，对应s数组是[3,4,6,11,18]
将a[2]加3之后，对应s数组变成[3，4，6+3，11+3，18+3]
再将a[3]减3，对应s数组编程[3，4，6+3，11+3-3，18+3-3]
如下图

ok，未来的小dream，知道啥意思了吗
总结两点：
原数组单点操作，对应前缀和数组的区间操作
前缀和数组的区间操作，对应原数组的单点操作

这两点之间来回切换思考题目反应要快

次背景下可以有一种题型，题目对a进行多次区间操作，其变化后的a数组！
ok，怎么思考？

对s进行区间操作，之后求a数组，是不是更好求一点，但是题目是对a进行区间操作，怎么办？
可以构造出一个b数组，b数组的前缀和是a数组，现在对a数组进行区间操作，就是对b数组的前缀和数组进行操作，最后将变化后的前缀和数组对应到b上，在从b还原出数组a

简单的说：将对a的区间操作，转换为对b的两点操作，最后由b还原a
这里的b数组就是a的差分数组，

一维差分数组

忘了的再回忆一遍，a是b的前缀和，b是a的差分，a[i][j] = b[1][1] +…+b[i][j]
ok，继续

操作一：给区间[l, r]中的每个数加上c

b[l] += c，b[r + 1] -= c

操作二：知道a数组求b数组

b[i] = a[i] - a[i - 1]

二维差分数组

扩展到二维。s[][]是a[][]的前缀和数组，那么a[][]是s[][]的差分数组
假设已经构造好了a[][]。
操作：构建差分数组
相当于在全为0的二维数组加，所以加值都是一样的
现在来执行加的操作

a[x1][y1] += c;
a[x1][y2+1] -= c;
a[x2+1][y1] -= c;
a[x2+1][y2+1] += c

等价于：

for(int i = x1; i <= x2; i ++)
	for(int j = y1; j <= y2; j ++)
		s[i][j] += c;

其实也很好理解

将加法操作封装成一个函数

void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{     //对a数组执行插入操作
      //等价于对s数组中的(x1,y1)到(x2,y2)之间的元素都加上了c
    a[x1][y1]+=c;
    a[x2+1][y1]-=c;
    a[x1][y2+1]-=c;
    a[x2+1][y2+1]+=c;
}

题目一：前缀和

蛮简单属于前缀和入入入入入入门级题目，只涉及到了序列

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N];//保存原数组
int s[N];//保存前缀和数组
int main(){
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        cin >> a[i];
    }
    //开始计算前缀和
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        s[i] = s[i - 1] + a[i];
    }
    
    while(m --){
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }
}

其中需要注意的地方：
a数组也就是原数组，因为s[i]数组的含义是前i个字符和，为了和s[i]对应，a[0]应该初始化为0，当然s[0]也是0

题目二：子矩阵的和

也是前缀和矩阵的入门级题目了，我这次好好总结，以后再也不忘记了
┭┮﹏┭┮

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
int a[N][N];
int s[N][N];
int main(){
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 1; j <= m; j ++){
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    //计算前缀和s[i][j]
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 1; j <= m; j ++){
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
        }
    }
    while(q --){
        int x1, y1, x2, y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
    }
}

和第一题一样要注意，下标都从1开始

题目三：差分

首先构造差分数组，接着对应在差分数组上进行两点操作
最后将对应差分数组转化为序列输出
小dream，o(╥﹏╥)o劝你好好学习

很多题解会用a，b数组
我为了和前缀和形成对应还是用s和a数组

#include<iostream>
using namespace std;
const int N  = 1e5 + 10;
int a[N];
int s[N];
int main(){
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        cin >> s[i];
        a[i] = s[i] - s[i - 1];
    }
    while(m --){
        int l, r, c;
        cin >> l >> r >> c;
        a[l] += c;
        a[r + 1] -= c;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        s[i] = s[i - 1] + a[i];
        cout << s[i] << " ";
    }
}

没有要注意的，小dream多细点心，然后segment fault有可能是因为你数组开的不够大

题目四：差分矩阵

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
int s[N][N];
int a[N][N];
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c){
    a[x1][y1] += c;
    a[x1][y2 + 1] -= c;
    a[x2 + 1][y1] -= c;
    a[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main(){
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    //输入数组
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 1; j <= m; j ++){
            cin >> s[i][j];
        }
    }
    //构建差分数组
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 1; j <= m; j ++){
            insert(i, j, i, j, s[i][j]);
        }
    }
    //对a进行操作
    while(q --){
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    //由a推出s，即可得到答案
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 1; j <= m; j ++){
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 1; j <= m; j ++){
            cout << s[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
}