数据结构之探索“堆”的奥秘

news2024/11/10 15:38:50

找往期文章包括但不限于本期文章中不懂的知识点:

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所属专栏:数据结构(Java版)

目录

堆的概念 

堆的创建 

时间复杂度分析:

堆的插入与删除

优先级队列

PriorityQueue的特性

PriorityQueue源码分析 

PriorityQueue常用接口介绍

构造方法:

堆的应用 


堆的概念 

如果有一个关键码的集合K = {k0,k1, k2,…,kn-1},把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储(从上到下、从左到右)在 一个一维数组 中,并满足:Ki <= K(2i+1) 且 Ki<=K(2i+2) (Ki >= K(2i+1) 且 Ki >= K(2i+2) ) i = 0,1,2…,则称为 小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆,根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

注意:Ki <= K(2i+1) 且 Ki<=K(2i+2) 这个公式就是说明根结点的值小于等于左右孩子节点的值,即小根堆或者最小堆。与其相反就是根结点的值大于等于左右孩子节点,即大根堆或者最大堆。

堆的性质:

1、堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值;

例如:小根堆就是根结点的值小于等于孩子节点的值,也就是说孩子节点的值大于等于根结点的值,也就对应了孩子节点不小于其父节点;反之,就是大根堆的性质了。

2、堆总是一棵完全二叉树。

因为堆是把数据按照完全二叉树的方式存储在一个一维数组中的。

3、堆的根结点总是这个一维数组中的最值,要么是最大值,要么是最小值。

如果是大根堆,按照 性质1 的推论就是:根结点的值大于等于孩子节点的值。这样一直递归下去,根结点肯定就是最大的。最坏情况就是所有结点的值全部相等。

4、堆的存储结构是一个一维数组,但是其逻辑结构是一个完全二叉树。

为什么不能是一个普通的二叉树呢?因为普通的二叉树会有空节点(空树),这样在数组中就会null元素的存在,导致了空间利用率比较低。

堆的创建 

现有一组数据 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 我们要把这组数据组织成大根堆。

public class Heap {
    int[] elem;
    int usedSize;
    public Heap(int k) {
        elem = new int[k];
    }
    public Heap() {
        elem = new int[10];
    }

    // 给堆初始化数据
    public void initHeap(int[] array) {
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            elem[i] = array[i];
            usedSize++;
        }
    }
}

思路:大根堆的特点是根结点的值大于左右孩子节点的值。这里采用的是一种向下调整的方法。

即从最后一棵树的根结点位置开始进行调整大根堆,一直调整到整棵树的根结点满足大根堆。

// 创建大根堆
public void createHeap() {
    // 从最后一棵子树的根结点位置开始
    for (int parent = (usedSize-1-1)/2; parent >= 0 ; parent--) {
        // 向下调整的方法:从要调整的位置开始,到整棵树结束
        siftDown(parent, usedSize);
    }
}

private void siftDown(int parent, int usedSize) {
    int child = parent * 2 + 1;
    // 只有当孩子节点在有效数据之内时,才能调整
    while (child < usedSize) {
        // 先找到左右孩子节点的最大值
        if (child+1 < usedSize && elem[child] < elem[child+1]) { // 得确保右孩子存在
            child++;
        }
        // 比较孩子节点的最大值和根结点的值
        if (elem[parent] < elem[child]) {
            // 交换
            swap(elem, parent, child);
            // 交换完成只是本级满足了大根堆的条件,但是交换下去的值不一定满足当级的大根堆条件
            parent = child;
            child = parent * 2 + 1;
         } else {
            // 满足大根堆就不需要继续调整了
            break;
         }
    }
}

private void swap(int[] elem, int i, int j) {
    int tmp = elem[i];
    elem[i] = elem[j];
    elem[j] = tmp;
}

 这里可能有几个小伙伴们疑惑的地方:

1、为什么交换完成之后还要再进行向下调整判断是否需要交换?

总而言之就是一句话:参与调整的,就得再次进行判断是否符合大根堆。

2、为什么本级满足大根堆的情况后,就不需要继续往下判断是否调整?

因为我们是从下面开始调整的,如果本级满足了大根堆,那么下面的就一定也满足大根堆。因此就无需继续判断了。

时间复杂度分析:

将上面的所有结果相加,就是最终的时间复杂度。

因此向下调整建堆的时间复杂度是:O(N)。

堆的插入与删除

堆的插入:

思路:因为堆在存储上是一个数组,那么我们肯定是按照插入数组元素的方法来进行插入,即尾插。尾插完之后,还得进行判断这个新的堆是否是大根堆。因为这个的判断方式是从插入的节点开始往上判断,因此这个判断是向上调整。

    public void offer(int val) {
        // 插入的元素放到最后,然后其所在的树进行向上调整
        // 判满,扩容
        if (isFull()) {
            elem = Arrays.copyOf(elem, elem.length*2);
        }
        elem[usedSize++] = val;
        siftUp(usedSize-1, 0);
    }

    private boolean isFull() {
        return usedSize == elem.length;
    }

    private void siftUp(int child, int end) {
        // 因为原来是满足大根堆的,因此我们只需要判断这个新插入的元素是否也满足
        int parent = (child-1) / 2;
        while (parent >= end) {
            if (elem[child] > elem[parent]) {
                // 交换
                swap(elem, child, parent);
                child = parent;
                parent = (child-1) / 2;
            } else {
                // 因为原来是满足大根堆的,如果这个也满足,那么就全部满足了
                break;
            }
        }
    }

有了插入方法,我们也就可以通过插入来创建堆了。

注意:我们手动创建堆的方法是采用向下调整,而插入元素采用的是向上调整。因此,两者创建出来的堆结果会不一样,但都是大根堆。

向上调整建堆的时间复杂度分析:

与向下调整相比,向上调整还要把最后一层的节点全部调整,因此,向上调整的时间复杂度肯定是大于向下调整的。

向上调整建堆的时间复杂度O(N+logN) 。

 堆的删除:

思路:堆的删除,我们采取的方式也和数组类似,是把堆顶元素与最后一个元素交换,再进行向下调整。

    public int poll() {
        // 判空,抛异常
        if (isEmpty()) {
            throw new HeapIsEmptyException("堆为空异常");
        }
        int val = elem[0];
        swap(elem, 0, usedSize-1);
        siftDown(0, usedSize-1);
        usedSize--;
        return val;
    }

    private boolean isEmpty() {
        return usedSize == 0;
    }

堆的删除的时间复杂度:O(logN)。

交换完,向下调整就只调整树的高度,也就是logN。

堆的插入的时间复杂度:O(logN)。

插在最后,然后进行向上调整,也是调整树的高度。

获取堆顶元素:

    public int peek() {
        if (isEmpty()) {
            throw new HeapIsEmptyException("堆为空异常");
        }
        return elem[0];
    }

看到这里,我们就应该可以猜出堆和队列是有关系的,否则,不会把队列的方法名给堆。堆这种数据结构可以实现优先级队列。 

优先级队列

通过堆的性质3,我们就可以推出一个结论:如果我们每次从堆中删除数据一定删除的是优先级最高的。如果是小根堆,那么就是删除最小值,如果是大根堆,那么删除的就是最大值。即优先级最高的先被删除。这就对应了队列中的一个特殊队列:优先级队列。实际上JavaAPI中优先级队列底层就是通过堆来实现的。

PriorityQueue的特性

1、使用时必须导入PriorityQueue所在的包,即:

import java.util.PriorityQueue;

2、PriorityQueue中放置的元素必须要能够比较大小,不能插入无法比较大小的对象,否则会抛出 ClassCastException异常。

因为堆中的元素是需要可以比较大小。否则,无法判别优先级。

3、不能插入null对象,否则会抛出NullPointerException。

因为我们去比较的时候,是通过对象调用专属的比较方法,如果对象为null,就会发生空指针异常。

4、PriorityQueue默认情况下是小堆---即每次获取到的元素都是最小的元素。

5、其内部可以自动扩容,无需我们主动实现。

PriorityQueue源码分析 

PriorityQueue常用接口介绍

构造方法:

构造器功能介绍
PriorityQueue()创建一个空的优先级队列,默认容量是11
PriorityQueue(int initialCapacity)创建一个初始容量为initialCapacity的优先级队列,注意: initialCapacity不能小于1,否则会抛IllegalArgumentException异常
PriorityQueue(Collection c)用一个集合来创建优先级队列

使用:

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        // 创建一个优先级队列,默认容量11
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue1 = new PriorityQueue<>();

        // 创建一个优先级队列,容量是20
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue2 = new PriorityQueue<>(20);

        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        list.add(1);
        list.add(2);
        list.add(3);
        list.add(4);
        list.add(5);

        // 创建一个优先级队列(容量根据list的大小来分配)
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue3 = new PriorityQueue<>(list);
        // 长度
        System.out.println(priorityQueue3.size());
        // 小根堆
        System.out.println(priorityQueue3.poll());
    }
}

这里的“容量根据list的大小来分配”的意思是:本来的默认容量是11,如果list的长度大于11,那么就会按照2倍或者1.5倍去扩容。

插入/删除/获取优先级最高的元素 

函数名功能介绍
boolean offer(E e)插入元素e,插入成功返回true,如果e对象为空,抛出NullPointerException异常,时间复杂度O(log2 N),注意:空间不够时候会进行扩容
E peek()获取优先级最高的元素,如果优先级队列为空,返回null
E poll ()移除优先级最高的元素并返回,如果优先级队列为空,返回null
int size()获取有效元素的个数
void clear()清空
boolean isEmpty()检测优先级队列是否为空,空返回true

堆的应用 

1、PriorityQueue的实现。

2、堆排序。

不同的顺序,建立不同的堆,但是一定是后面的元素先有序,再是前面的元素有序。

因此我们就可以知道:如果是从小到大排序,那么就要建大根堆;反之,则是建小根堆。

因为 如果是从小到大排序,且后面的元素先有序,那么后面的元素只能是最大的,因此建立大根堆的话,堆顶元素一定是最大的。这时,我们只需把堆顶元素和最后一个元素进行交换,然后再进行向下调整,直至调整到整棵树的根节点。

代码实现:

    public void heapSort() {
        int j = 0;
        for (int i = usedSize-1; i > 0; i--) {
            swap(elem,i,j);
            siftDown(0, i);
        }
    }

3、Top-k问题 

TOP-K问题:即求数据集合中前K个最大的元素或者最小的元素,一般情况下数据量都比较大,且K都比较小。

例如:全球前500强的企业。

对于Top-K问题,能想到的最简单直接的方式就是排序,但是:如果数据量非常大,排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决,基本思路如下:

如果是要找前K个最小的元素,将前K个元素建成大根堆,然后再去遍历后N-K个元素,遇到小于堆顶元素的就交换,遍历完成后剩下的堆中元素就是前K个最小的。

练习:面试题 17.14.最小K的个数

题目: 

设计一个算法,找出数组中最小的k个数。以任意顺序返回这k个数均可。

示例:

输入: arr = [1,3,5,7,2,4,6,8], k = 4
输出: [1,2,3,4]

提示:

  • 0 <= len(arr) <= 100000
  • 0 <= k <= min(100000, len(arr))

思路一:直接排序,然后遍历前K个即可。

    public int[] smallestK(int[] arr, int k) {
        // 调用JavaAPI提供的方法才行,自己实现的方法会超出时间限制
        Arrays.sort(arr); // 默认是从小到大排序
        int[] ret = new int[k];
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            ret[i] = arr[i];
        }
        return ret;
    }

思路二:将N个元素建成小根堆,然后每次取堆顶元素,取K次即可。

    public int[] smallestK(int[] arr, int k) {
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>();
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            priorityQueue.offer(arr[i]);
        }
        // 上面是建成的小根堆
        int[] ret = new int[k];
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            ret[i] = priorityQueue.poll();
        }
        return ret;
    }

思路三:取前K个元素建成大根堆,然后再遍历剩下的元素,如果小于堆顶元素,则交换。

class Solution {
    public int[] smallestK(int[] arr, int k) {
        int[] ret = new int[k];
        if (k == 0 || arr == null) {
            return ret;
        }
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(k, new Incompare());
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            priorityQueue.offer(arr[i]);
        }
        for (int i = k; i < arr.length; i++) {
            if (priorityQueue.peek() > arr[i]) {
                priorityQueue.poll();
                priorityQueue.offer(arr[i]);
            }
        }
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            ret[i] = priorityQueue.poll();
        }
        return ret;
    }
}

// 创建新的比较器
class Incompare implements Comparator<Integer> {
    @Override
    public int compare(Integer o1, Integer o2) {
        return o2.compareTo(o1);
    }
}

好啦!本期 数据结构之探索“堆”的奥秘 的学习之旅就到此结束啦!我们下一期再一起学习吧!

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