数论第一节:整数的可除性

news2024/11/13 10:09:52

@[TOC ]

1、整除的概念

整除:
设a,b∈Z,若存在整数c∈Z,s.t. a= bc,则称b整除a,记为 b ∣ a b|a ba否则称b不整除a。
带余除法:
a , b ∈ z a,b∈z abz b ≠ 0 b≠0 b=0,则存在唯一q,r属于Z, s . t . a = b ∗ q + r s.t. a=b*q+r s.t.a=bq+r,且 0 ≤ r < ∣ b ∣ 0≤r<|b| 0r<b
注意:余数一定大于等于0。所以 ( − 10 ) ÷ 3 = − 4...2 (-10)÷3=-4...2 (10)÷3=4...2,因为 3 ∗ ( − 4 ) + 2 = ( − 10 ) 3*(-4)+2=(-10) 3(4)+2=(10)

2、带余除法的证明:

2.1 存在q,r属于Z(存在性证明)

因为b大于0,所以可以用b划分整数轴。得到如下整数轴:
在这里插入图片描述
用数学语言描述为:
( − ∞ , + ∞ ) = ⋃ k = − ∞ + ∞ [ k b , ( k + 1 ) b ) ( - \infty , + \infty ) = \bigcup\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {[kb,(k + 1)b)} (,+)=k=+[kb,(k+1)b)
对于任意的a∈Z,存在一个整数q,s.t. a属于 [ q ∗ b , ( q + 1 ) ∗ b ) [q*b,(q+1)*b) [qb,(q+1)b),即满足
q ∗ b ≤ a < ( q + 1 ) ∗ b q*b≤a<(q+1)*b qba(q+1)b

0 ≤ a − q ∗ b < b 0≤a-q*b<b 0aqbb
存在性证明整毕。
当b小于0时,同理可证,这里不再赘述。

2.2 q的唯一性证明

采用反证法证明,假设q不唯一,则存在 q ’ ≠ q q’≠q q=q r ′ ≠ r r'≠r r=r,使得对于同一个a,有:
a = b ∗ q ′ + r ′ a=b*q'+r' a=bq+r a = b ∗ q + r a=b*q+r a=bq+r
可得
b ∗ q ′ + r ′ = b ∗ q + r b*q'+r'=b*q+r bq+r=bq+r
⇒ b ∗ ( q ′ − q ) = r − r ′ \Rightarrow b*(q'-q)=r-r' b(qq)=rr
为了方便后续计算,对等式两边取绝对值
⇒ ∣ b ( q ′ − q ) ∣ = ∣ r − r ′ ∣ \Rightarrow |b(q'-q)|=|r-r'| b(qq)=rr
由初始条件可得,
b ≤ b ∣ ( q ′ − q ) ∣ , 且 ∣ r − r ′ ∣ < b b≤b|(q'-q)|,且|r-r'|<b bb(qq),rrb
所以得
b ≤ ∣ r − r ′ ∣ < b b≤|r-r'|<b brrb
⇒ b < b \Rightarrow b<b bb
产生了矛盾,所以假设不成立。

3、整除的基本性质

3.1 传递性

概念:
a ∣ b , b ∣ c ⇒ a ∣ c a|b,b|c \Rightarrow a|c abbcac
显然,不做证明。

3.2 其他性质1

概念:
c ∣ a , c ∣ b , ⇒ c ∣ a + b 或 c ∣ a − b c|a,c|b, \Rightarrow c|a+b或c|a-b ca,cb,ca+bcab

3.3 其他性质2

在这里插入图片描述
设n个整数 q 1 − q n q_1-q_n q1qn,然后逐步去证明。

3.4其他性质3

概念:
a ∣ b , b ∣ a , 则 b = a 或 b = − a a|b,b|a,则b=a或b=-a ab,ba,b=ab=a
简要证明思路:
q 1 = q 2 = 1 q_1=q_2=1 q1=q2=1,则 a = b a=b a=b
q 1 = q 2 = − 1 q_1=q_2=-1 q1=q2=1,则 a = − b a=-b a=b

参考资料:

1、《初等数论》高等教育出版社
2、bilibili视频

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