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1、整除的概念
整除:
设a,b∈Z,若存在整数c∈Z,s.t. a= bc,则称b整除a,记为
b
∣
a
b|a
b∣a否则称b不整除a。
带余除法:
设
a
,
b
∈
z
a,b∈z
a,b∈z,
b
≠
0
b≠0
b=0,则存在唯一q,r属于Z,
s
.
t
.
a
=
b
∗
q
+
r
s.t. a=b*q+r
s.t.a=b∗q+r,且
0
≤
r
<
∣
b
∣
0≤r<|b|
0≤r<∣b∣。
注意:余数一定大于等于0。所以
(
−
10
)
÷
3
=
−
4...2
(-10)÷3=-4...2
(−10)÷3=−4...2,因为
3
∗
(
−
4
)
+
2
=
(
−
10
)
3*(-4)+2=(-10)
3∗(−4)+2=(−10)
2、带余除法的证明:
2.1 存在q,r属于Z(存在性证明)
因为b大于0,所以可以用b划分整数轴。得到如下整数轴:
用数学语言描述为:
(
−
∞
,
+
∞
)
=
⋃
k
=
−
∞
+
∞
[
k
b
,
(
k
+
1
)
b
)
( - \infty , + \infty ) = \bigcup\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {[kb,(k + 1)b)}
(−∞,+∞)=k=−∞⋃+∞[kb,(k+1)b)
对于任意的a∈Z,存在一个整数q,s.t. a属于
[
q
∗
b
,
(
q
+
1
)
∗
b
)
[q*b,(q+1)*b)
[q∗b,(q+1)∗b),即满足
q
∗
b
≤
a
<
(
q
+
1
)
∗
b
q*b≤a<(q+1)*b
q∗b≤a<(q+1)∗b
即
0
≤
a
−
q
∗
b
<
b
0≤a-q*b<b
0≤a−q∗b<b
存在性证明整毕。
当b小于0时,同理可证,这里不再赘述。
2.2 q的唯一性证明
采用反证法证明,假设q不唯一,则存在
q
’
≠
q
q’≠q
q’=q与
r
′
≠
r
r'≠r
r′=r,使得对于同一个a,有:
a
=
b
∗
q
′
+
r
′
a=b*q'+r'
a=b∗q′+r′;
a
=
b
∗
q
+
r
a=b*q+r
a=b∗q+r
可得
b
∗
q
′
+
r
′
=
b
∗
q
+
r
b*q'+r'=b*q+r
b∗q′+r′=b∗q+r
⇒
b
∗
(
q
′
−
q
)
=
r
−
r
′
\Rightarrow b*(q'-q)=r-r'
⇒b∗(q′−q)=r−r′
为了方便后续计算,对等式两边取绝对值
⇒
∣
b
(
q
′
−
q
)
∣
=
∣
r
−
r
′
∣
\Rightarrow |b(q'-q)|=|r-r'|
⇒∣b(q′−q)∣=∣r−r′∣
由初始条件可得,
b
≤
b
∣
(
q
′
−
q
)
∣
,
且
∣
r
−
r
′
∣
<
b
b≤b|(q'-q)|,且|r-r'|<b
b≤b∣(q′−q)∣,且∣r−r′∣<b
所以得
b
≤
∣
r
−
r
′
∣
<
b
b≤|r-r'|<b
b≤∣r−r′∣<b
⇒
b
<
b
\Rightarrow b<b
⇒b<b
产生了矛盾,所以假设不成立。
3、整除的基本性质
3.1 传递性
概念:
a
∣
b
,
b
∣
c
⇒
a
∣
c
a|b,b|c \Rightarrow a|c
a∣b,b∣c⇒a∣c
显然,不做证明。
3.2 其他性质1
概念:
c
∣
a
,
c
∣
b
,
⇒
c
∣
a
+
b
或
c
∣
a
−
b
c|a,c|b, \Rightarrow c|a+b或c|a-b
c∣a,c∣b,⇒c∣a+b或c∣a−b
3.3 其他性质2
设n个整数
q
1
−
q
n
q_1-q_n
q1−qn,然后逐步去证明。
3.4其他性质3
概念:
a
∣
b
,
b
∣
a
,
则
b
=
a
或
b
=
−
a
a|b,b|a,则b=a或b=-a
a∣b,b∣a,则b=a或b=−a
简要证明思路:
设
q
1
=
q
2
=
1
q_1=q_2=1
q1=q2=1,则
a
=
b
a=b
a=b
设
q
1
=
q
2
=
−
1
q_1=q_2=-1
q1=q2=−1,则
a
=
−
b
a=-b
a=−b
参考资料:
1、《初等数论》高等教育出版社
2、bilibili视频