数论第一节:整数的可除性

news2024/11/23 22:08:06

@[TOC ]

1、整除的概念

整除:
设a,b∈Z,若存在整数c∈Z,s.t. a= bc,则称b整除a,记为 b ∣ a b|a ba否则称b不整除a。
带余除法:
a , b ∈ z a,b∈z abz b ≠ 0 b≠0 b=0,则存在唯一q,r属于Z, s . t . a = b ∗ q + r s.t. a=b*q+r s.t.a=bq+r,且 0 ≤ r < ∣ b ∣ 0≤r<|b| 0r<b
注意:余数一定大于等于0。所以 ( − 10 ) ÷ 3 = − 4...2 (-10)÷3=-4...2 (10)÷3=4...2,因为 3 ∗ ( − 4 ) + 2 = ( − 10 ) 3*(-4)+2=(-10) 3(4)+2=(10)

2、带余除法的证明:

2.1 存在q,r属于Z(存在性证明)

因为b大于0,所以可以用b划分整数轴。得到如下整数轴:
在这里插入图片描述
用数学语言描述为:
( − ∞ , + ∞ ) = ⋃ k = − ∞ + ∞ [ k b , ( k + 1 ) b ) ( - \infty , + \infty ) = \bigcup\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {[kb,(k + 1)b)} (,+)=k=+[kb,(k+1)b)
对于任意的a∈Z,存在一个整数q,s.t. a属于 [ q ∗ b , ( q + 1 ) ∗ b ) [q*b,(q+1)*b) [qb,(q+1)b),即满足
q ∗ b ≤ a < ( q + 1 ) ∗ b q*b≤a<(q+1)*b qba(q+1)b

0 ≤ a − q ∗ b < b 0≤a-q*b<b 0aqbb
存在性证明整毕。
当b小于0时,同理可证,这里不再赘述。

2.2 q的唯一性证明

采用反证法证明,假设q不唯一,则存在 q ’ ≠ q q’≠q q=q r ′ ≠ r r'≠r r=r,使得对于同一个a,有:
a = b ∗ q ′ + r ′ a=b*q'+r' a=bq+r a = b ∗ q + r a=b*q+r a=bq+r
可得
b ∗ q ′ + r ′ = b ∗ q + r b*q'+r'=b*q+r bq+r=bq+r
⇒ b ∗ ( q ′ − q ) = r − r ′ \Rightarrow b*(q'-q)=r-r' b(qq)=rr
为了方便后续计算,对等式两边取绝对值
⇒ ∣ b ( q ′ − q ) ∣ = ∣ r − r ′ ∣ \Rightarrow |b(q'-q)|=|r-r'| b(qq)=rr
由初始条件可得,
b ≤ b ∣ ( q ′ − q ) ∣ , 且 ∣ r − r ′ ∣ < b b≤b|(q'-q)|,且|r-r'|<b bb(qq),rrb
所以得
b ≤ ∣ r − r ′ ∣ < b b≤|r-r'|<b brrb
⇒ b < b \Rightarrow b<b bb
产生了矛盾,所以假设不成立。

3、整除的基本性质

3.1 传递性

概念:
a ∣ b , b ∣ c ⇒ a ∣ c a|b,b|c \Rightarrow a|c abbcac
显然,不做证明。

3.2 其他性质1

概念:
c ∣ a , c ∣ b , ⇒ c ∣ a + b 或 c ∣ a − b c|a,c|b, \Rightarrow c|a+b或c|a-b ca,cb,ca+bcab

3.3 其他性质2

在这里插入图片描述
设n个整数 q 1 − q n q_1-q_n q1qn,然后逐步去证明。

3.4其他性质3

概念:
a ∣ b , b ∣ a , 则 b = a 或 b = − a a|b,b|a,则b=a或b=-a ab,ba,b=ab=a
简要证明思路:
q 1 = q 2 = 1 q_1=q_2=1 q1=q2=1,则 a = b a=b a=b
q 1 = q 2 = − 1 q_1=q_2=-1 q1=q2=1,则 a = − b a=-b a=b

参考资料:

1、《初等数论》高等教育出版社
2、bilibili视频

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.coloradmin.cn/o/1953512.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

相关文章

Jupyter notebook无法自动关联打开浏览器,怎么办?

最近为了方便进行数据分析和处理&#xff0c;在电脑上安装了Anaconda。 Anaconda 是一个功能强大的数据科学平台&#xff0c;它包含了‌conda、Python以及180多个科学包及其依赖项。 Anaconda 常常用于科学计算、数据分析和人工智能等领域&#xff0c;并且得到了广大开发者的…

【中项】系统集成项目管理工程师-第5章 软件工程-5.5部署交付

前言&#xff1a;系统集成项目管理工程师专业&#xff0c;现分享一些教材知识点。觉得文章还不错的喜欢点赞收藏的同时帮忙点点关注。 软考同样是国家人社部和工信部组织的国家级考试&#xff0c;全称为“全国计算机与软件专业技术资格&#xff08;水平&#xff09;考试”&…

界面控件Telerik UI for WPF 2024 Q2亮点 - 全新的AIPrompt组件

Telerik UI for WPF拥有超过100个控件来创建美观、高性能的桌面应用程序&#xff0c;同时还能快速构建企业级办公WPF应用程序。UI for WPF支持MVVM、触摸等&#xff0c;创建的应用程序可靠且结构良好&#xff0c;非常容易维护&#xff0c;其直观的API将无缝地集成Visual Studio…

PostgreSQL成为最受欢迎的数据库; TiDB马拉松大赛开启, Serverless和Vector为比赛焦点

重要更新 1. TiDB Hackathon大赛报名开启&#xff0c;总奖金达21万&#xff0c;主题是基于 TiDB Serverless 内置的向量搜索功能&#xff08;Vector Search&#xff09;构建 AI 创新应用&#xff0c;感兴趣的可以报名参加。( [1] ) 2. Stack Overflow 2024 开发者调研结果公布…

Java面试还看传统八股文?快来看看这个场景题合集吧【附PDF】

以下就是这份面试场景文档↓ 这里有什么&#xff1f; ↓↓ 1.针对 2024 年面试行情的变化设计的面试场景题以及回答思路 2. 如何快速通过面试的详细攻略 3. 简历优化技巧 1.知己知彼才能百战百胜&#xff0c;如何做好面试前的准备工作 场景题答案以及更多场景题八股文一线大…

注意力机制(三)- 空间注意力机制

空间注意力的核心思想是让模型能够聚焦于输入数据中最重要的空间区域 关注区域&#xff1a; 空间注意力机制使模型能够识别并关注输入图像或文本中的关键区域。 权重分配&#xff1a; 通过学习一个权重分布&#xff0c;模型可以为输入数据的每个空间位置分配不同的重要性。这些…

刷题了:150. 逆波兰表达式求值 |239. 滑动窗口最大值 |347.前 K 个高频元素

150. 逆波兰表达式求值 题目链接:https://leetcode.cn/problems/evaluate-reverse-polish-notation/description/ 文章讲解:https://programmercarl.com/0150.%E9%80%86%E6%B3%A2%E5%85%B0%E8%A1%A8%E8%BE%BE%E5%BC%8F%E6%B1%82%E5%80%BC.html 视频讲解:https://www.bilibili.…

食品管理系统

目录 第1章 系统概述 第2章 可行性研究 2.1 项目背景及意义 2.2 可行性研究 第3章 需求分析 3.1 功能性需求 第4章 总体设计 4.1 系统的功能模块图。 4.2各功能模块简介 4.3主要业务流程 第5章 详细设计 5.1 食品管理系统页面 5.2个人中心页面 5.3 系统管理页面 …

Linux编程:使用python或者shell获取系统信息

0. 概要 在日常的系统管理和性能监控中&#xff0c;获取系统信息是一个非常常见的需求。 本文将介绍如何使用Python和Shell脚本来获取这些系统信息。 1. 使用Python获取系统信息 使用psutil库来获取系统的CPU、内存、磁盘和网络信息。 1.1 安装psutil库 首先&#xff0c;我…

论文阅读——Wirelessly-Powered Wireless Sensor Platform

文章目录 摘要一、整流天线二、仿真结果三、系统测试总结 论文来源&#xff1a;https://ieeexplore.ieee.org/document/4403991 摘要 文章介绍了一种低功耗&#xff08;约10μW&#xff09;的2.45 GHz无线传感器平台&#xff0c;该平台包括一个三轴加速度计、温度计和皮肤电导…

开源大模型的格式转成GGUF,并量化后使用ollama推理

https://github.com/ggerganov/llama.cpphttps://github.com/ggerganov/llama.cpp使用到的工具: llama.cpp ollama 步骤 1、下载llama.cpp,并使用make编译 2、新建conda环境,安装llama.cpp里所需的库(requirements.txt) 3、下载需要量化的模型

15.C语言形式参数和实际参数的介绍及函数总结

形参和实参的介绍及函数总结 1.形式参数和实际参数2.获取两个最大的数3.关于函数的一些总结 1.形式参数和实际参数 实际参数可以是常量、变量、表达式 y get(1);//常量 y get(x);//变量 y get(x1);//表达式形参和实参数值相同&#xff0c;地址不同(传递参数是数值的传递)。 …

全能数据分析工具:Tableau Desktop 2019 for Mac 中文激活版

Tableau Desktop 2019 一款专业的全能数据分析工具&#xff0c;可以让用户将海量数据导入并记性汇总&#xff0c;并且支持多种数据类型&#xff0c;比如像是编程常用的键值对、哈希MAP、JSON类型数据等&#xff0c;因此用户可以将很多常用数据库文件直接导入Tableau Desktop&am…

python_基础编程_字典、集合

字典类型&#xff1a; 一、什么是字典 字典&#xff1a;是py内置的数据结构之一&#xff0c;与列表一样是一个可变的序列&#xff0c;以键值对的方式存储数据&#xff0c;是一个无序的序列 二、字典的原理 实现原理&#xff1a;Py根据key查找value所在的位置 三、字典的创…

Redhat 7.9上配置达梦数据库的DM 数据守护(DM Data Watch)

Redhat 7.9上配置达梦数据库的DM 数据守护&#xff08;DM Data Watch&#xff09; 一 基础环境 端口说明&#xff1a; 注&#xff1a; 主库已经安装软件&#xff0c;及创建数据库实例。并已开启归档模式。 [dmdbatest1 tool]$ disql sysdba/Dameng123 服务器[LOCALHOST:523…

Cuda入门

文章目录 下载使用NsightAPI__ldg 函数实现1. Sigmoid2. warpReduceSum 参考学习资料 下载使用Nsight https://developer.nvidia.com/nsight-systems/get-startedsudo ln -s /opt/nvidia/nsight-systems/2024.4.1/bin/nsys /bin/nsysnsys profile --statstrue addAPI __ldg …

kotlin协程-- 基础概念 ①|创建和使用

引言 首先先说一些相关概念 1.并发与并行 在操作系统中我们曾经学到过并发与并行 并发: 是同一个时刻只有一条指令在执行,其他指令没有再执行,但是由于CPU的时间片特别短,导致多个指令来回切换的时间间隔特别短,就好像是同一时间多条指令在执行。单核CPU与多核CPU都可以进…

渗透测试之漏洞 ms08-067 利用实验

实验背景 在安全服务项目中&#xff0c;需要对系统进行风险评估&#xff0c;其中风险评估的第一步:漏洞扫描即漏扫&#xff0c;在客户授权的前提下&#xff0c;对授权目标实施扫描并生成漏扫报告;在漏扫结束后&#xff0c;为了其准确性和完整性&#xff0c;还需对目标进行渗透…

FPGA FIFO IP核(3)- 仿真

仿真思路 如何在写入标志信号&#xff08;写入请求信号&#xff09;有效时将数据写入到FIFO中&#xff1f; 在调用模块代码中&#xff0c;pi_flag每四个时钟周期产生一个有效信号&#xff0c;即写请求信号。每次当pi_data检测到pi_flag信号有效时加1&#xff0c;从0~255循环变…

PDF怎么压缩?在线pdf压缩VS PDF压缩软件,谁更好用?10款工具详细多方位测评

PDF怎么压缩&#xff1f;PDF文件压缩可以使用本地文件压缩软件&#xff0c;也可以在网页上使用在线压缩工具一键压缩。 在日常工作和生活中&#xff0c;PDF文件因其跨平台性和良好的保持格式不变的能力而广受欢迎。然而&#xff0c;随着PDF文件内容的增加&#xff0c;文件大小也…