锐角 △ A B C \triangle ABC △ABC 的外接圆为 ω \omega ω, 圆 I I I 与 ω \omega ω 内切于 A A A, 且与 B C BC BC 切于点 D D D. 设直线 A B AB AB, A C AC AC 分别与 I I I 交于点 P P P, Q Q Q, 点 M M M, N N N 在直线 B C BC BC 上, 满足 B B B 是 D M DM DM 的中点, C C C 是 D N DN DN 的中点. 设直线 M P MP MP, N Q NQ NQ 交于点 K K K, 且分别与 I I I 交于点 I I I, J J J, 射线 K A KA KA 与 △ I J K △ IJK △IJK 的外接圆交于另一点 X X X. 求证: ∠ B X P = ∠ C X Q \angle BXP=\angle CXQ ∠BXP=∠CXQ.
证明:
证明 X M XM XM 平行于 A B AB AB, X N XN XN 平行于 A C AC AC :
易知 P Q / / B C PQ//BC PQ//BC,
∠ K X J = ∠ K J I = ∠ K P Q = ∠ K M N \angle KXJ=\angle KJI=\angle KPQ =\angle KMN ∠KXJ=∠KJI=∠KPQ=∠KMN
∴ X \therefore X ∴X, J J J, D D D, M M M 共圆, K J ⋅ K M = K X ⋅ K D KJ \cdot KM=KX \cdot KD KJ⋅KM=KX⋅KD.
其中, K J = K D ⋅ A K K P KJ= \frac{KD\cdot AK}{KP} KJ=KPKD⋅AK.
∴ K X = K M K P ⋅ A K \therefore KX= \frac{KM}{KP}\cdot AK ∴KX=KPKM⋅AK.
∴ X M \therefore XM ∴XM 平行于 A B AB AB
同理, X N XN XN 平行于 A C AC AC.
∴ X D \therefore XD ∴XD 平分 ∠ M X N \angle MXN ∠MXN
设 ( A P Q ) (APQ) (APQ) 的圆心为 T T T. 则 T D TD TD ⊥ \bot ⊥ P Q PQ PQ, 进而可知 P D = Q D PD=QD PD=QD.
证明 △ P X D ∼ △ C X N \triangle PXD\sim \triangle CXN △PXD∼△CXN :
∠ P D X = ∠ P Q A = ∠ A C B = ∠ C N X \angle PDX=\angle PQA=\angle ACB=\angle CNX ∠PDX=∠PQA=∠ACB=∠CNX
X N X D = A C A D \frac{{X}N}{XD}=\frac{AC}{AD} XDXN=ADAC
由相切可知, △ D C Q ∼ △ A C D \triangle DCQ \sim \triangle ACD △DCQ∼△ACD, A C A D = C P D Q = P D C N \frac{AC}{AD}=\frac{CP}{DQ}=\frac{PD}{CN} ADAC=DQCP=CNPD
∴ △ P X D ∼ △ C X N \therefore \triangle PXD\sim \triangle CXN ∴△PXD∼△CXN.
∴ ∠ P X C = ∠ D X N = 1 2 ∠ B A C \therefore \angle P XC=\angle D X N = \frac {1 } {2} \angle BAC ∴∠PXC=∠DXN=21∠BAC.
同理 ∠ Q X B = 1 2 ∠ B A C \angle Q X B = \frac {1 } {2} \angle B A C ∠QXB=21∠BAC, 证毕.
