向量链式法则

说明：

1.第一个式子， y是标量，u是标量，x是n维向量

2.第二个式子，y是标量，u是k维向量，x是n维向量，所以y对u求导是k维的行向量，u对x求导是k行n列的矩阵（u在分母，所以有k行）

3.同上

例1

说明：

1.a对w的导数：a是x与w的内积，<x,w> = xTw，即x的转置乘以w，所以就是xTw对w求导，得到xT

 例2

说明:

1.L2范数的定义是向量元素平方和的平方根

2.向量a对向量a本身求导，是一个主对角线为1的矩阵（根据向量对向量求导的定义可知）

自动求导

• 自动求导计算一个函数在指定值上的导数
• 它有别于
  • 符号求导

                

• 数值求导

                                

计算图

• 将代码分解成操作分子
• 将计算表示成一个无环图

• 显示构造
  • Tensorflow/Theano/MXNet

• 隐式构造
  • Pytorch/MXNet

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自动求导的两种模式

例1

反向累计总结

• 构造计算图
• 前向：执行图，存储中间结果
• 反向：从相反方向执行图
  • 去除不需要的枝

                

复杂度

• 计算复杂度：O(n)，n是操作子个数
  • 通常正向和反向的代价类似
• 内存复杂度：O(n)，因为需要存储正向的所有中间结果
• 跟正向累计对比：
  • O(n)计算复杂度用来计算一个变量的梯度
  • O(1)内存复杂度