目录

一.基础：

1.概念：

2.定义：

Ⅰ.树的相关基础术语：

Ⅱ.树的层次：

3.树的性质：

二.存储思路：

1.结构体存储：

 2.数组存储：

三.树的遍历模板：

四.信息统计方式：

1.自顶向下统计：

2.自底向上统计

五.基础练习：

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一.基础知识 ：

1.概念：

在前面学过的存放数据的容器有：数组、链表、栈、队列等，这些都是线性结构，数据元素之间存在一对一的线性关系。但在实际生活中，往往是非线性关系，数据元素之间的关系通常可以一对多。所以必须要把这些数据关系储存下来。其实树形结构就像递归数一样。递归树中，都只能从父节点走到子节点。我们只需要记录每个父节点有哪些子节点，那么就可以遍历整个递归树。我们可以用动态数组(vector)来记录每个节点的子节点。这就是树的孩子表示法

2.定义：

Ⅰ.树的相关基础术语：

（1）.根节点：最顶层的节点就是根结点，它是整棵树的源头，一般用root表示。如1

（2）叶子节点：在树最底端的节点，就是其子节点个数为0的节点。如4、7、6、3

（3）.节点的度：指定节点有子节点的个数。如2的度为3

（4）.无根树：没有指定根节点的树，树的形态多样。明显这里以1为根和以5为根，树的形态不一样。

（5）.有根树：指定了根节点的树，树的形态唯一。

（6）.森林：由多棵树构成

（7）.链长：边权相加。

Ⅱ.树的层次：

（1）.节点高度：指从这个节点到叶子节点的距离（一共经历了几个节点）。

（2）.树的高度：指所有节点高度的最大值。

（3）.节点的层：从根节点开始，假设根节点为第1层，根节点的子节点为第2层，依此类推

3.树的性质：

性质1：n个节点，保证任意两点有且仅有一条路径，树中有且仅有n-1条边。

证明：除第一个节点外，连接一个其他节点，至少增加一条边，所以n个点至少要用n-1条边才能保证所有节点连通。若此时再增加一条非重边，任意两点间是否还存在一条唯一路径。

性质2：树的根结点没有前驱(父节点)，除根结点外的所有结点有且只有一个前驱。树中所有结点可以有零个或多个后继(子节点)。

证明：同上。

二.存储思路：

输入一个数字n表示一颗有n个点的树。接下来一行输入n个数，表示每个点上的权值ai。后面n-1行，每行输入三个数u,v,w，表示节点u,v存在一条边，边权为w。请把所有信息保存下来。

1.结构体存储：

用结构体把每个节点的信息进行封装。这样的优点在于节点信息非常独立，但是所占空间稍大。

struct node{
    int data;
    vector<int> v,w;
}a[105];
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<+n;i++) cin>>a[i].data;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x,y,z;cin>>x>>y>>z;
        a[x].v.push_back(y);
        a[y].v.push_back(x);
        a[x].w.push_back(z);
        a[y].w.push_back(z);
    }
}

 2.数组存储：

用多个数组，分别描述每个节点的对应信息。这种方式的有点在于速度稍快，写起来简单。

int data[105]
vector<int> v,w;
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>data[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x,y,z;cin>>x>>y>>z;
        v[x].push_back(y);
        v[y].push_back(x);
        w[x].push_back(z);
        w[y].push_back(z);
    }
}

三.树的遍历模板：

我们可以发现前两道例题都是有向的边，所以不担心会从子节点重新走到父亲节点。但是通常来讲，树的边都是双向的我们在遍历的时候不希望一个点遍历多次。我们可以用dfs中记录由父亲节点(来向)，这样可以阻止走回去。

void dfs(int x,int fa){
    for(int i=0;i<v[x].size();i++){
        int y=v[x][i];
        if(x==fa) continue;
        dfs(y,x);
    }
}

四.信息统计方式：

1.自顶向下统计：

操作方法：在进入dfs之前进行信息统计。如求链长：树上两个节点必然有且仅有一条路径，我们可以把该路径看成一条链。路径上的边权和为两点的链长。

计算有根树中任意点到根节点的距离

int data[105];
void dfs(int x,int fa) {
	for(int i=0; i<v[x].size(); i++) {
		int y=v[x][i];
		if(y==fa) continue;
		data[y]=data[x]+w[x][i];
		dfs(y,x);
	}
}

扩展：输出有根树最长链的路径

在dfs时进行路径记录，用pre数组记录当前节点是由哪一个父亲节点走过来。
当找到最长链的终点，根据每个节点只有一个父亲。倒着找回去，就能输出完整路径。

int data[105]，pre[105];
void dfs(int x,int fa) {
	for(int i=0; i<v[x].size(); i++) {
		int y=v[x][i];
		if(y==fa) continue;
		data[y]=data[x]+w[x][i];
		dfs(y,x);
	}
}
void print(int x){
    vector<int> r;
    for(int i=x;i>0;i=pre[i]) r.push_back(i);
    for(int i=r.size()-1;i>=0;i--) cout<<i<<" ";
}

2.自底向上统计

操作方法：在dfs回溯之时进行信息统计。如求树的节点个数：当前树上共有多少个节点。

子树的概念：抹除当前根节点以及所有与根节点的连边后，产生的树都是当前根节点的子树。
如当前根节点1的子树有，以2、3、4为根的子树。

计算有根树中各子树的节点个数：

int data[105];
void dfs(int x,int fa) {
    data[x]=1;
	for(int i=0; i<v[x].size(); i++) {
		int y=v[x][i];
		if(y==fa) continue;
		dfs(y,x);
        data[x]+=data[y];
	}
}

五.基础练习：

题目：

给定一棵有n个点的树（结点个数≤100），指定根节点为1。每个点带有点权。求以1为根节点的最大子树大小，以及最大影响力。影响力=该点权*该点向下的最大子树（这里的子树不包括从根节点来的部分）。

题目分析：

先用dfs求出每个各点的为根的节点个数(子树大小)，用sz数组进行保存，并且在整个回溯过程中，不断比较节点1相连的几颗子树，求取最大值。

正确代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,data[1001],s[1145],maxn;//data数组记录以i为根的子树大小
vector<int> v[105];
vector<int> w[105];
void dfs(int x,int fa){
	s[x]=1;
	for(int i=0;i<v[x].size();i++){
		int y=v[x][i];
		if(y==fa) continue;
		dfs(y,x);
		s[x]+=s[y];//记录点权相加
		maxn=max(s[y],maxn);//打擂台求最大
	}
}
int main() {
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>data[i];
	for(int i=1; i<n; i++) {
		int x,y;cin>>x>>y;
		v[x].push_back(y);
		v[y].push_back(x);
	}
	dfs(1,0);
	cout<<maxn<<" ";
	maxn=0; 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		maxn=max(s[i]*data[i],maxn);//打擂台求最大影响力
	}
	cout<<maxn;
	return 0;
}

树形结构（2 树的直径）：C++树形结构（2 树的直径）-CSDN博客

 树形结构（3 树的中心、重心）：C++树形结构（3 树的中心、重心）-CSDN博客

树形结构（总）：https://blog.csdn.net/Archie28/article/details/140504428