代码随想录–动态规划部分

day 35 动态规划第三天

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一、卡码网46–携带研究材料

代码随想录题目链接：代码随想录

小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的空间，并且具有不同的价值。
小明的行李空间为 N，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料只能选择一次，并且只有选与不选两种选择，不能进行切割。

这个问题涉及到背包问题

需要掌握的实际上就是01背包和完全背包

01背包：有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

dp数组的构建如下：

dp[i][j]：重量为j的包，从[0-i]中取物品，能够得到的最大价值

初始化的话需要对第一行和第一列初始化

第一列很清晰，背包容量为0，那放不下任何东西，价值必然为0

第一行也很清晰，只能放物品0，放得下就放，放不下就不放，所以不是0就是value[0]

接着就是考虑怎么更新dp[i][j]了

即dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])

这里dp[i - 1][j]考虑的是不放物品的价值，也就是说即使多了第i个物品这个选项，我也不选它

而dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])考虑的是我想把它放进来，那我就需要为它腾出空间来

所以dp的第二位是j-weight[i]，也就是在仅有[0, i-1]这种选择的情况下还能放下i物品前最大的价值

至于遍历方向，看递归公式，只有左上方的数据会影响，所以先行再列或者先列再行都可以

代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;
int main()
{
    int M,N;
    while(cin >> M >> N)
    {
        N += 1;
        vector<int> weight(M, 0);
        vector<int> value(M, 0);
        for(int i = 0; i < M; i ++) cin >> weight[i];
        for(int i = 0; i < M; i ++) cin >> value[i];
        vector<vector<int>> dp(M, vector<int>(N,0));
        
        for(int i = weight[0]; i < N; i ++)
        {
            dp[0][i] = value[0]; 
        }
        
        for(int i = 1; i < M; i ++)
            for(int j = 1; j < N; j ++)
            {
                if(j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j];
                else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
            }
        cout << dp[M-1][N-1] << endl;
    }
}

这里的dp还可以用滚动数组来代替，从而将维度降到一维，更加简洁

就是dp只保留一行，每次更新从后向前更新，这样在使用dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]时改成dp[j - weight[i]]

这个位置的数是上次遍历时指定的，在二维状态下依然是代表上一层的数，遍历过后才被覆盖成本层的值

二、力扣416–分割等和子集

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给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

本题中元素只能放一次，所以是01背包

两个子集的元素和相等，也就是说要拿出来一个子集，它的元素和为sum/2，这里sum是nums的元素和

所以背包的最大体积是sum/2，那么物品价值就是数组里的数值本身，同时也是物品的体积

这样遍历到最后，看dp数组最大体积下的价值是不是sum/2就能知道有没有这样的子集了

代码如下：

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = 0;
        vector<int> dp(10001, 0);
        for (int ele : nums) sum += ele;
        if (sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;

        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) 
            for(int j = target; j >= nums[i]; j--) 
            {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }

        if (dp[target] == target) return true;
        return false;
    }
};