c++树（三）重心

news2024/9/22 5:42:58

重心的基础概念

定义：使最大子树大小最小的点叫做树的重心

树的重心求解方式

例题：

重心的性质

性质1：重心点的最大子树大小不大于整棵树大小的一半。

性质1证明：

性质1的常用推导

推导1：

推导2：

性质2：非空树有且仅有1-2个重心。当有两个重心时，树定有偶数个节点，且两个重心相邻。

性质2证明：

性质3：树中所有点到重心的距离和最小，反过来距离和最小的点一定是重心。

性质4：往树上增加或减少一个叶子，如果原节点数是奇数，那么重心可能增加一个，原重心仍是重心；如果原节点数是偶数，重心可能减少一个，另一个重心仍是重心。

性质5：把两棵树通过一条边相连得到一棵新的树，则新的重心在较大的一棵树一侧的连接点与原重心之间的简单路径上。如果两棵树大小一样，则重心就是两个连接点。

总结回顾：

一、重心的基础概念与求解方法

二、树的重心的三个基础性质

重心的基础概念

定义：使最大子树大小最小的点叫做树的重心

在线性的序列[1,n]中，我们在考虑用分治思想处理问题时，需对问题进行划分。在划分问题时若要更加均匀，我们选择中点mid可以更加高效。这样得到[1,mid],[mid+1,n]两个子序列，因为子序列中元素的个数

思考：在树中我们同样可以选择一个点，将该点及该点连边删除后得到一些子树，那么要使得问题更加均匀的划分，选的点应具备什么要的性质？

树的重心求解方式

要求树的重心，我们可以枚举出每个点为断点时，所产生的最大子树大小。某断点求当前最大子树大小的方法：对该点进行dfs，找到以i为根节点的子树的大小记录到sz[i]中，接着在该点的儿子中找si最大的一个。复杂度为O(n2)

仔细分析：一次dfs，可以将每个节点x的子树分为两种：

1.根节点将要去的子树。（dfs回溯时一定能获取类型1子树大小）

2.来时的子树，此时无法再递归回去。（假设断开来边，来时子树大小=总节点数-接下来获得的sz[x]，即等于n-sz[x]）意味着一次dfs能够求出所有点作为重心能得到的最大子树大小mss。我们取最小值即可，复杂度O(n)

例题：

给定一棵树，树中包含 n（n）个结点（编号1~n）和 n−1 条无向边，找出树的重心若重心不止一个，则输出编号较小的），以及当前重心下的最大子树大小。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
const int N=1e5+5;
vector<int>v[N];
int sz[N];    //当前节点的子树大小
int jie,minn=N;//jie是重心，minn为重心下的最大子树大小
void dfs(int x,int fa){
	sz[x]=1;
	int res=0;//开始找到当前x为根的最大子树
	for(int i=0;i<v[x].size();i++){
		int y=v[x][i];
		if(y==fa) continue;
		dfs(y,x);
		sz[x]+=sz[y];
		res=max(sz[y],res);  //在几个子树中找最大值
	}
	res=max(res,n-sz[x]);//去的子树算完后，剩下来时子树
	if(minn>res)minn=res,jie=x; 
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		v[x].push_back(y);
		v[y].push_back(x);
	}
	dfs(1,0);
	cout<<jie<<" "<<minn;
}