C++树（四）二叉树

二叉树的定义：

二叉树相关术语：

二叉树的概念与性质

二叉树基本性质

二叉树的节点数量

满二叉树概念：

完全二叉树概念：

完全二叉树性质：

二叉树的存储

二叉树的遍历

在此基础上，二叉树的遍历又分为以下三种：

先序遍历

中序遍历

二叉树遍历的总结

二叉树的遍历转化

二叉树的特殊遍历方法

特殊的二叉树

二叉搜索树

平衡二叉树

总结：

一、二叉树的概念与性质

二、二叉树的储存与遍历

二叉树的定义：

二叉树（binary tree）是指树中节点的度不大于2的有序树，它是一种最简单且最重要的树。二叉树的递归定义为：二叉树是一棵空树，或者是一棵由一个根节点和两棵互不相交的，分别称作根的左子树和右子树组成的非空树；左子树和右子树又同样都是二叉树【节选自百度】

节点	左子树	右子树
0	子树 1	子树 7
1	子树 2	子树 6
2	无	无

链表也可以看作是一棵特殊的二叉树，因为链表每个结点只有一个子节点，满足二叉树的定义。二叉树与普通树的差别在于，普通树可以有 2 个以上的子节点，而二叉树的子节点不能超过 2 个。

	链表	二叉树	树
后继节点	1个	不超过 2个	任意个
定义关系	链表属于二叉树	二叉树属于树

二叉树相关术语：

节点：包含一个数据元素及若干指向子树分支的信息。
节点的度：一个节点拥有子树的数目称为节点的度。
叶子节点：也称为终端节点，没有子树的节点或者度为零的节点。
分支节点：也称为非终端节点，度不为零的节点称为非终端节点。
树的度：树中所有节点的度的最大值。
节点的层次：从根节点开始，假设根节点为第1层，根节点的子节点为第2层，依此类推，如果某一个节点位于第L层，则其子节点位于第L+1层。
树的深度：也称为树的高度，树中所有节点的层次最大值称为树的深度。
有序树：如果树中各棵子树的次序是有先后次序，则称该树为有序树。
无序树：如果树中各棵子树的次序没有先后次序，则称该树为无序树。
森林：由m（m≥0）棵互不相交的树构成一片森林。如果把一棵非空的树的根节点删除，则该树就变成了一片森林，森林中的树由原来根节点的各棵子树构成。

二叉树的概念与性质

二叉树限定了孩子个数最多为2，而正是由于这种限定，使得二叉树拥有许多性质。

二叉树基本性质

性质1：在二叉树的第i层上最多有2i-1个结点（i>=1）。

性质2：深度为k的二叉树至多有2k–1个结点（k>=1）。

性质3：对任意一棵二叉树，如果其叶结点数为n0，度为2的结点数为n2，则一定满足：n0=n2+1。

归纳法证明性质3

假设初始为一个两个节点的二叉树。此时n0=n2+1，此时加点有两种方式:

1.加到叶节点，此时n0，n2不变

2.加到只有一个儿子的节点上，此时n0+1,n2+1。同样满足n0=n2+1

如果我们保证前面若干层都是满节点，那么我们就可以知道前面第i层确定的节点个数，这样的树将拥有更多的性质。

二叉树的节点数量

一棵高度为n的二叉树，最多包括2n−1个节点。树高为n，共有n 层，第一层有1 个根节点，根据二叉树的定义，后面每层节点的数量最多为上一层的2 倍，因此最多有：1+2+4+....+2n−1=2n−1个节点。

那么一棵高度为n的二叉树，最少有 n 个节点，是一个链表。

考虑前若干层是否为满节点，我们有两种特殊的二叉树：满二叉树和完全二叉树

满二叉树概念：

一棵深度为k且有2k–1个结点的二叉树称为满二叉树。通常来说我们对满二叉树的结点进行连续编号，约定从根结点起，自上而下，从左到右进行编号。

完全二叉树概念：

深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1到n的结点一一对应时，称为完全二叉树。特点：k-1层以前是满二叉树，最后一层节点从左到右连续出现。

完全二叉树性质：

性质1：具有n个结点的完全二叉树的深度为：floor(log2n)+1

性质2：对于一棵n个结点的完全二叉树，对任一个结点(编号为i)，有：

1) 节点i的左儿子为：i*2，节点i的右儿子为：i*2+1。

2) 若i*2+1>n，说明节点i无右儿子。若i*2>n，说明节点i无儿子。

3) 对于节点i，若i>1，则节点i的父亲为：i/2。

二叉树的存储

对于一颗普通的树，我们采取vector存放儿子，但是对于二叉树，我们只需要记录左右儿子即可。

有数组存放和结构体存放两种方式。结构体存放会更耗空间，因为结构体内部有不定长度的动态数组。而存放二叉树，只需要用ls,rs来存放左右儿子即可。空间占用与普通数组一样。对于复杂题目，信息较多的时候，变量命名更轻松，信息也独立。同时为了更快速调用，可以在结构体内进行define。

struct node{
    int value;
    vector<int> childs; //用来记录所有子节点的编号
}nodes[10000];
int root;
//root为根节点

也可以利用二叉树的特性，用左右子树的方式，来存储二叉树。

用结构体来表示二叉树的节点，每个节点存储了当前节点的值，以及左子树和右子树的编号。

struct node{
    int value;
    int left;
    int right;
}nodes[10000];
int root;					//root为根节点

二叉树的遍历

遍历二叉树的方法可以沿用遍历树的方法——递归。

DFS(当前节点u){

    DFS(u.left);

    DFS(u.right);

}

在此基础上，二叉树的遍历又分为以下三种：

先序遍历

遍历顺序规则为：根左右，遍历方法：

（1）访问根节点

（2）采用先序递归遍历左子树

（3）采用先序递归遍历右子树

中序遍历

遍历顺序规则为：左根右，遍历方法：

（1）采用中序遍历左子树

（2）访问根节点

（3）采用中序遍历右子树

二叉树遍历的总结

三种方法遍历过程中经过节点的路线一样，只是访问各个节点的顺序不同。

二叉树的先序、中序、后序遍历我们已经学会了，那么给定其中任意两种遍历，我们能否推出唯一的第三种遍历么?

答案：给定先序+中序可以推出后序。后序+中序可以推出先序。但是先序+后序是无法推出中序的。

这里我们只是以：知道先序遍历和中序遍历，推断后序遍历作为例子，其他组合方式原理是一样的。

二叉树有以下几种特性：

特性 A ，对于先序遍历，第一个肯定是根节点

特性 B ，对于后序遍历，最后一个肯定是根节点

特性 C ，利用先序或后序遍历，确定根节点，在中序遍历中，根节点的两边就可以分出左子树和右子树；

特性 D ，对左子树和右子树分别做前面 3 点的分析和拆分，相当于做递归，我们就可以重建出完整的二叉树。

所以我们可以靠保存先序+中序，或者后序+中序 2 个顺序，来保存整个二叉树的结构。

二叉树的遍历转化

一颗二叉树如果知道中序遍历，以及先序(或后序)，我们就能清晰的知道树的结构

二叉树的特殊遍历方法

对于一棵二叉树，由于其特殊的性质，我们在树上信息统计的时候有其独特的方法。

二叉树的特殊遍历方法前面所学并查集中提到，若没有查询某个节点，节点上的信息可以暂时不更新，等到需要的时候我们再去更新。在二叉树中，应用得也比较广泛，我们称之为”懒标记“。

如图：若某点值若只与父亲节点相关，修改7号节点的时候，只影响其本身的值，其他节点可以正常访问。当我们需要访问到该节点的时候，再进行更新。这样，我们可以将多次修改放到一起解决，从而降低问题的复杂度。

特殊的二叉树

二叉搜索树

二叉搜索树（ Binary Search Tree ）它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：若它的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；若它的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；它的左、右子树也分别为二叉搜索树。

能够快速查找数据也是二叉搜索树被用于各类数据结构的原因，但这种快速是有限制的，即不会出现退化，假如二叉搜索树退化为链表，则无法做到快速查找数据的要求，所以又出现了平衡二叉树

平衡二叉树

平衡二叉树（ Balanced Binary Tree ）具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

平衡二叉树有效的限制了树高，使得二叉树不会退化为一个链表。

平衡二叉树如果同时也是一棵二叉搜索树，那么查找某个节点的效率是O(log(n))的。

很多数据结构，不能完美的做到平衡，但也能有效的控制树高，例如：红黑树。也被经常用于数据的快速查找。

满二叉数有2k-1个结点

样例代码

struct node{
	char value;
		int left,right;
	}data[101];
	int root=0,cnt;
	char ch;
	int buildTree(int bt){
		cin>>ch;
		if(ch=='.'){
			bt==0;
			return bt;
		}else{
			bt=++cnt;
			data[bt].value=ch;
			data[bt].left=data[bt].right=0;
			data[bt].left=buildTree(bt);
			data[bt].right=buildTree(bt);
		}
		return bt;
	} 
	void postorder(int bt){
		if(bt){
			postorder(data[bt].left);
			postorder(data[bt].right);	
			cout<<data[bt].value;
		}
	}
	int main(){
		root=0;
		cnt=0;
		root=buildTree(0);
		postorder(root);
return 0;
}