【Leetcode】十八、动态规划：不同路径 + 最大正方形

news2024/12/26 21:31:04

文章目录

1、动态规划
2、leetcode509：斐波那契数列
3、leetcode62：不同路径
4、leetcode121：买卖股票的最佳时机
5、leetcode70：爬楼梯
6、leetcode279：完全平方数
7、leetcode221：最大正方形

1、动态规划

只能向下、向右的走，从图中左上角走到右下角，有几条路径
在这里插入图片描述因为只能向下、向右走，所以从起始点走到点（R，C），路径数等于，以起始点到点（R，C）为对角线的矩形里，到点（R，C）左侧点的路径数 + 到点（R，C）上边点的路径数 （动态规划的方程式）

// 动态规划的方程式
[R，C] = [R - 1][C] + [R][C - 1]

在这里插入图片描述

有些类似斐波那契数列了，起始点就是[0][0] （动态规划的初始状态），那递归终止的条件，就是其左侧点或者上边点不存在，此时，到它的路径只有一条，return 1，一直算到点（R，C）（动态规划的终止状态）。以上，动态规划的三要素：

动态规划的方程式
动态规划的初始状态
动态规划的终止状态

从起始状态（0，0），到终止状态（R，C），中间每个格子的值（到达它的路径数），都会算出来，这些中间结果，可存入一个数组，这题可用二维数组存。动态规划可用来干：

1）计数：有多少种方式或路径，如上面从左上角到右下角有多少路径
2）求最值：从左上角到右下角路径的最大数字和，每个数字不等，代表权重，求最长路径或最小路径
3）求存在性：是否存在某个可能，可以从A走到B

动态规划的分类：

自底向上：从最小的子问题开始，逐步计算出所有可能的状态，直到解决原问题
自顶向下：通过递归地方式，从原问题开始，依次分解为更小的子问题，通常需要记忆化搜索（Memoization）来保存已经计算过的结果，避免重复计算

在这里插入图片描述

2、leetcode509：斐波那契数列

在这里插入图片描述

不再递归了，根据方程式，步步为营，从F(2)一路计算到F(n)，并把每个中间值存入数组中，最后返回数组的第n个元素即可

public class P509Two {
    public int recursion(int n) {
        //F(0)和F(1)
        if (n < 2) {
            return n == 0 ? 0 : 1;
        }
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[1] = 1;  //F(1)
        // 根据方程式，计算每个值，存入数组，从F(2)一路计算到F(5)
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}

3、leetcode62：不同路径

在这里插入图片描述

前面已经分析过了，这儿的方程式为：F(m，n）= F(m - 1，n）+ F(m，n - 1），初始状态为（1，1），终止状态为（m，n）


public class P62 {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        dp[0][0] = 1;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
            	// 如果是边缘，x轴或者y轴，则直接赋值1，因为只有一条路可达，其余按方程式赋值
                if (i == 0 || j == 0) {
                    dp[i][j] = 1;
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
                }
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}