【动态规划】打家劫舍

news2024/11/25 20:30:43

动态规划的四个解题步骤：

1、定义子问题
2、写出子问题的递推关系
3、确定dp数组的计算顺序
4、空间优化（可选）

上一篇博客学的有点杂乱，这一篇从解题步骤方面整理一下动态规划这一章。

打家劫舍（难度：中等）

在这里插入图片描述

该题对应力扣网址

~~（无语了，我第一次看到这道题，觉得太简单了，直接想间隔一间房子偷一次，代码不会写，小偷也不合格。。。。嘎嘎嘎）~~

步骤：
1、定义子问题
找到一个和原问题相似，但规模较小的问题
原问题：从所有房子中能偷到的最大金额
子问题：（规模缩小）从k个房子中能偷到的最大金额
要求子问题必须具备两个性质：
1️⃣原问题要能由子问题表示（当k=n时）
2️⃣一个子问题的解要能通过其他子问题的解求出（最优子结构）

2、子问题的递推关系
思路很重要，这道题的递推关系是，f(k)表示从前k个房子（0到k-1）中能偷到的最大金额。
偷k个房子有两种偷法：
1️⃣偷前k-1间房子，从0到k-2，最后一间不偷
2️⃣偷前k-2间和最后一间房子，从0到k-3，第k-2间不偷

这两种情况，需要选择金额较大的一种结果：
f(k)=max{f(k-1),H(k-1)+f(k-2)}
在写递推关系的同时，还要注意边界
当k=0和k=1的情况（根据公式得出边界取值）
f(0)=0 f(1)=H(0)

3、确定dp数组的计算顺序
动态规划有两种计算顺序，在上一篇博客中也说过，一种是自顶向上、使用备忘录的递归方法，另一种是自底向上、使用dp数组的循环方法。（之前还说过一种方法，就是自顶向上、不使用备忘录的递归方法，不过因为不用备忘录所以存在时间超出限制的情况，就说是有两种方法）

不过因为博主说大多数普通动态规划题目都不需要用到备忘录方法，所以还是使用自底向上的dp数组。

dp数组（子问题数组）的每一个元素都对应一个子问题，例如：dp[k]对应f(k)，即偷前k间房子的最大金额。
dp[k]=max(dp[k-1],H(k-1)+dp[k-2])

4、空间优化（可选）
属于是在空间上做进一步优化，因为f(k)只依赖f(k-1)和f(k-2)两个结果，所以可以用变量保存着两个子问题的结果。空间复杂度从O(n)降到了O(1)。

AC代码

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        //动态规划，自底向上dp数组
        int len=nums.size();
        vector <int> dp(len+1,0);
        //init base case
        dp[0]=0;
        dp[1]=nums[0];
        
        //对于每一个状态
        for(int i=2;i<=len;i++){
            dp[i]=max(dp[i-1],nums[i-1]+dp[i-2]);
        }
        return dp[len];
    }
};