牛顿-拉夫逊优化算法(Newton-Raphson-based optimizer, NBRO)是一种新型的元启发式算法（智能优化算法），该成果由Sowmya等人于2024年2月发表在中科院2区Top SCI期刊《Engineering Applications of Artificial Intelligence》上。

1、算法原理

NRBO受到Newton-Raphson方法的启发，它使用两个规则：Newton-Raphson搜索规则（NRSR）和陷阱避免算子（TAO）以及几组矩阵来探索整个搜索过程，以进一步探索最佳结果。NRSR使用Newton-Raphson方法来提高NRBO的探索能力，并提高收敛速度以达到改进的搜索空间位置。TAO帮助NRBO避免局部最优陷阱，具体算法原理及位置更新可看这篇文章：
2024年新算法-牛顿-拉夫逊优化算法(NRBO)-公式原理详解 Matlab代码免费获取

2、三维路径规划

(1)路径长度代价
本文选择最小化路径长度判断路径是否最优。无人机是通过地面控制站控制的，因此无人机的飞行路径$C_i$表示由n个航点组成的列表，每一个航点对应路径规划搜索地图中的一个路径节点。假设共有i条飞行路径，$j$个路径节点，每个节点坐标可以表示为 $P_{ij}(x_{ij},y_{ij},z_{ij})$ , 因此路径长度代价$T_{{}_1}$为
$$T_1(C_i)=\sum _{j=1}^{n-1}\overrightarrow{P_{i,j}{P}_{i,j+1}}$$
(2)障碍物威胁代价
除了路径长度最优之外，路径规划中的路径还必须要确保无人机的安全运行，因此，引人障碍物威胁代价能够引导无人机躲避实际操作环境中的障碍物。假设飞行过程共有$\kappa$个障碍物，用圆柱体来模拟飞行过程中遇到的障碍物，将无人机大小考虑为直径D，每一个障碍物投影的中心坐标点为$O_k$ ,半径为$R_k$

图1 障碍物投影
对于一条给定的从节点1到节点2的路径段，飞行的安全距离为 S,相邻两个路径节点与$O_k$的垂直距离为$d_k$ ,即无人机必须限定在阴影之外的区域飞行，才确保飞行的安全。此时第 i 条路径的障碍物威胁代价$T_2$为
$$T_2({\mathbf{C}}_i)=\{\begin{array}{ll}{\sum }_{j=1}^{n-1}{\sum }_{K=1}^{K_{\max }}(S+D+R_K)-d_K& D+R_K<d_K⩽S+D+R_K\\ & \\ 0& d_K>S+D+R_K\\ & \\ \infty & d_K⩽D+R_K\end{array}$$
(3)航行高度代价
无人机的平稳飞行决定了路径的平滑程度，稳定的飞行高度不仅能够规划平稳的飞行路径，而且有助于节省燃料，一定程度上减轻了无人机控制系统的负担。另外，在无人机的实际应用中，飞行高度经常被限制在两个给定的极值之间，即必须在适当的高度巡航才能满足测量、航拍及搜索应用等要求。假设最小和最大高度分别为$h_{min}$和$h_{max}$ ,则航行高度代价$T_3$为
$$\begin{gathered} T_3(C_i)=\sum _{j=1}^n{H}_{ij} \\ {H}_{ij}=\{\begin{array}{ll}{h}_{\min }-h_{ij}& h_{ij}<h_{\min }\\ 0& h_{\min }⩽h_{ij}⩽h_{\max }\\ h_{ij}-h_{\max }& h_{ij}>h_{\max }\end{array} \end{gathered}$$
式中，$h_{ij}$为相对于地面的飞行高度。综合路径最优代价、障碍物威胁代价和航行高度代价 ,得到的路径适应度函数为$T_3$为
$$\begin{gathered} T_3(C_i)=\sum _{j=1}^n{H}_{ij} \\ {H}_{ij}=\{\begin{array}{ll}{h}_{\min }-h_{ij}& h_{ij}<h_{\min }\\ 0& h_{\min }⩽h_{ij}⩽h_{\max }\\ h_{ij}-h_{\max }& h_{ij}>h_{\max }\end{array} \end{gathered}$$
式中，$h_{ij}$为相对于地面的飞行高度。综合路径最优代价、障碍物威胁代价和航行高度代价 ,得到的路径适应度函数为
$$T({\mathbf{C}}_i)=b_1{T}_1({\mathbf{C}}_i)+b_2{T}_2({\mathbf{C}}_i)+b_3{T}_3({\mathbf{C}}_i)$$
式中$b_1,b_2,b_3$为[0,10]之间的权重系数，通过调整权重系数，满足不同应用的路径要求。如航拍需要无人机稳定飞行在一定的高度上，则可适当增加航行高度代价的权重系数$b_3$ ,部分代码如下：

%% 威胁区域绘制
%威胁区域中心坐标
ThreatAreaPostion = [120,120];
%威胁区域半径
ThreatAreaRadius = 30;
%将威胁区域叠加到图上
figure
mesh(Map);
hold on;
for i= 1:size(ThreatAreaRadius)
    [X,Y,Z] = cylinder(ThreatAreaRadius(i),50);
    X = X + ThreatAreaPostion(i,1);
    Y = Y + ThreatAreaPostion(i,2);
    Z(2,:) = Z(2,:) + 50;%威胁区域高度
    mesh(X,Y,Z)
end
%% 设置起始点和终止
startPoint = [50,0,10];
endPoint = [200,200,20];

plot3(startPoint(1),startPoint(2),startPoint(3),'ro');
text(startPoint(1),startPoint(2),startPoint(3),'起点','Color','k','FontSize',15)
plot3(endPoint(1),endPoint(2),endPoint(3),'r*');
text(endPoint(1),endPoint(2),endPoint(3),'终点','Color','k','FontSize',15)
title('地图信息')

3、运行结果

朱润泽,赵静,蒋国平,等.基于改进粒子群算法的无人机三维路径规划[J].南京邮电大学学报(自然科学版),1-10[2024-07-17].

完整代码下载：

基于牛顿-拉夫逊优化算法(Newton-Raphson-based optimizer, NBRO)的无人机三维路径规划