一、单个粒子模拟

• 想模拟粒子在场中的运动

Ordinary Differential Equation ODE 常微分方程

• 将粒子的位置与时间之间的关系表达为一个方程
  

ODE求解方法——欧拉方法

• 通过迭代的方法近似粒子的运动轨迹
• 步骤
  • 初始化： 设置初始位置 x0 和时间步长 Δt。
  • 迭代：
    • 计算当前时间步长 t 下粒子的速度 $v(x(t),t)$
    • 根据速度和步长更新粒子的位置：$x(t+\Delta t)=x(t)+\Delta t\ast v(x(t),t)$
    • 更新时间：$t=t+\Delta t$
  • 重复步骤 2，直到达到所需的时间步数
• 问题
  • 控制好步长 —— 误差随着时间步长的增加而增加
  • 稳定性差：当时间步长较大时，容易导致模拟结果发散

解决不稳定

中点法

• 在每个时间步长内，计算当前时间步长和下一时间步长中点的速度，并用该速度更新位置
  

改进欧拉方法

• 计算当前时间步长和下一时间步长速度的平均值，并用该平均值更新位置
• 二次模型比一次更准确
  

自适应步长

• 根据误差估计来调整时间步长
• 把时间分成两部分，若结果相近符合，则不用继续分$\Delta t$，反之，继续分时间步长

隐式欧拉方法

• 使用下一时间步长的速度来更新位置

二、流体模拟

基于位置的方法

• 基本思想：将流体视为由大量不可压缩的刚性球体组成，并通过调整这些球体的位置来模拟流体的流动
• 核心假设：流体的密度保持恒定，任何密度变化都会通过调整球体位置来“纠正”
• 实现方法：计算每个粒子的密度梯度，并通过梯度下降法更新粒子的位置
• 问题：不是基于物理的，会耗散能量（误差），难以模拟复杂现象

物质点方法

• 基本思想： 结合拉格朗日（质点法）和欧拉（网格法）两种视角，使用粒子来携带材料属性，并使用网格来进行数值积分
• 实现方法：
  • 拉格朗日视角：使用粒子来表示流体，每个粒子携带密度、速度等属性
  • 欧拉视角：使用网格来表示流体的状态，并在网格上求解流体的运动方程
  • 交互：粒子将属性传递给网格，网格进行更新，然后插值回粒子