题目描述:

小明的班上共有 n 元班费，同学们准备使用班费集体购买 3 种物品：

圆规，每个 7 元。
笔，每支 4 元。
笔记本，每本 3 元。

小明负责订购文具，设圆规，笔，笔记本的订购数量分别为 a,b,c，他订购的原则依次如下：

n 元钱必须正好用光，即 7a+4b+3c=n。
在满足以上条件情况下，成套的数量尽可能大，即 a,b,c 中的最小值尽可能大。
在满足以上条件情况下，物品的总数尽可能大，即 a+b+c 尽可能大。

请你帮助小明求出满足条件的最优方案。可以证明若存在方案，则最优方案唯一。

输入格式:

输入仅一行一个整数，代表班费数量 n。

输出格式:

如果问题无解，请输出 -1。

否则输出一行三个用空格隔开的整数 a, b, c，分别代表圆规、笔、笔记本的个数。

输入输出样例:

输入 #1:

输出 #1:

-1

输入 #2:

输出 #2:

1 1 1

输入 #3:

输出 #3:

1 2 6

说明/提示:

样例输入输出 3 解释:

a=2,b=4,c=1 也是满足条件 1,2的方案，但对于条件 3，该方案只买了 7 个物品，不如 a=1,b=2,c=6 的方案。

数据规模与约定:

对于测试点 1∼6，保证 n≤14。
对于测试点 7∼12，保证 n 是 14 的倍数。
对于测试点 13∼18，保证 n≤100。
对于全部的测试点，保证 0≤n≤10^5。

思路：

看到这道题，我们有两个思路：

1.暴力法

第一个就是暴力，暴力三重循环a,b,c依次枚举，先定义一个计数器sum，初始化为0，如果三重循环过后还是为0，那么代表没有任何一个方案，输出-1.

最开始还要定义三个变量x,y,z代表着最优方案，我们在暴力循环中科院和目前最优方案x,y,z进行比较，如果a,b,c在小明的订购原则中是大于x,y,z的那么就将x,y,z重新赋值a,b,c。

在循环中,a,b,c如果符合条件第一个条件，将计数器sum加上1，然后我们进行第一优先级的判断，我们可以写一个函数check来判断,参数为a,b,c.(因为x,y,z是全局变量，不用多加变量）返回值为int类型，如果a,b,c的最小值大于x,y,z的最小值就返回1（之后要重新赋值x,y,z），如果相等，返回-1，代表之后需要进行第二优先级的比较，如果小于，返回0，之后不用更新x,y,z的值。

int check(int a,int b,int c){ //第一优先级(最小值尽可能大) 
	if(min(a,min(b,c))>min(x,min(y,z))) //如果a,b,c的最小值大于x,y,z的最小值 
	  return 1; //返回1(之后将x,y,z赋值为a,b,c) 
	else if(min(a,min(b,c))==min(x,min(y,z))) //如果两者优先级相同 
	  return -1; //返回-1(之后进行第二优先级比较) 
	return 0; //如果a,b,c的最小值小于x,y,z的最小值(不用管) 
}

以上代码是第一优先级函数的判断，接下来我们需要写第二优先级函数pd的判断(参数为a,b,c，返回值为bool,不可能相等了，因为题目说了，数据保证只有一个最优方案).

我们第二优先级是在第一优先级相等的条件下让a,b,c之和尽可能的大，我们这个函数只需要判断a+b+c和x+y+z的值谁的大就行了！

bool pd(int a,int b,int c){ //第二优先级(三者相加尽可能大) 
	if(a+b+c>x+y+z) //如果大于 
	  return true; //返回真(之后x,y,z赋值为a,b,c) 
	return false; //返回假(不用管) 
}

之后经过三重循环查找最优购买方案后，输出x,y,z就行了。（三重循环，复杂度为O(n^3)）.

2.暴力法代码：

//暴力法O(n^3): 
#include<bits/stdc++.h> //万能头文件 
using namespace std; //批注使用std类 
int x=0,y=0,z=0; //分别为购买三类物品的最优方案 
int check(int a,int b,int c){ //第一优先级(最小值尽可能大) 
	if(min(a,min(b,c))>min(x,min(y,z))) //如果a,b,c的最小值大于x,y,z的最小值 
	  return 1; //返回1(之后将x,y,z赋值为a,b,c) 
	else if(min(a,min(b,c))==min(x,min(y,z))) //如果两者优先级相同 
	  return -1; //返回-1(之后进行第二优先级比较) 
	return 0; //如果a,b,c的最小值小于x,y,z的最小值(不用管) 
}
bool pd(int a,int b,int c){ //第二优先级(三者相加尽可能大) 
	if(a+b+c>x+y+z) //如果大于 
	  return true; //返回真(之后x,y,z赋值为a,b,c) 
	return false; //返回假(不用管) 
}
int main(){ //main主函数 
	int n,sum=0; //定义 
	cin>>n; //输入
	//三重循环找最优方案 
	for(int a=0;a<n;a++){ //枚举圆规数量 
		for(int b=0;b<n;b++){ //枚举笔数量 
			for(int c=0;c<n;c++){ //枚举笔记本数量 
				if((7*a+4*b+3*c)==n){ //如果钱数刚好符合要求 
					sum++; //计数器++ 
					int f=check(a,b,c); //进行第一优先级比较 
					if(f==1) //如果为1 
					  x=a,y=b,z=c; //重新赋值 
					else if(f==-1){ //如果相等 
						if(pd(a,b,c)) //进行第二优先级比较 
						  x=a,y=b,z=c; //如果为真,重新赋值 
					}
				}				
			}

		}
	}
	if(sum==0) //如果计数器为0 
	  cout<<"-1"<<endl; //无方案,输出-1 
	else //不为0 
	  cout<<x<<" "<<y<<" "<<z<<endl; //输出最优方案 
	return 0; //结束 
}

3.暴力优化法

我们可以对暴力法进行一下优化，怎么优化呢？

首先，我们知道,7a+4b+3c=n,那么我们可以只用枚举其中两个物品的订购方案，为什么呢？假如我们枚举c和b的购买方案,我们可以求出a来怎么求呢？首先4*b+3*c必须小于等于n,这样a才可以为正数，还有：因为题目要求，a,b,c必须都是正整数,所以a不能为小数，我们知道如果4*b+3*c<=n的话，那么(n-4*b-3*c)就等于7*a,为了确保a是整数，所以我们需要判断(n-4*b-3*c)除以7的余数为不为0，如果为0，那么a是整数，就可以求a，不为0，那么就不是整数，不继续进行。

这样我们只用了两重循环就解决了这个问题，复杂度为O(n^2)。

4.暴力优化法代码：

//优化O(n^2): 
#include<bits/stdc++.h> //万能头文件 
using namespace std; //批注使用std类 
int x=0,y=0,z=0; //分别为购买三类物品的最优方案 
int check(int a,int b,int c){ //第一优先级(最小值尽可能大) 
	if(min(a,min(b,c))>min(x,min(y,z))) //如果a,b,c的最小值大于x,y,z的最小值 
	  return 1; //返回1(之后将x,y,z赋值为a,b,c) 
	else if(min(a,min(b,c))==min(x,min(y,z))) //如果两者优先级相同 
	  return -1; //返回-1(之后进行第二优先级比较) 
	return 0; //如果a,b,c的最小值小于x,y,z的最小值(不用管) 
}
bool pd(int a,int b,int c){ //第二优先级(三者相加尽可能大) 
	if(a+b+c>x+y+z) //如果大于 
	  return true; //返回真(之后x,y,z赋值为a,b,c) 
	return false; //返回假(不用管) 
}
int main(){ //main主函数 
	int n,sum=0; //定义 
	cin>>n; //输入
	for(int c=0;c<=n;c++){ //枚举笔记本数量
		for(int b=0;b<=n;b++){ //枚举笔数量 
			if((3*c+4*b)<=n&&(n-(3*c+4*b))%7==0){ //进行判断条件一是否符合 
				sum++; //计数器++ 
				int a=(n-(3*c+4*b))/7; //求出a 
				int f=check(a,b,c); //进行第一优先级判断 
				if(f==1) //如果为1 
				  x=a,y=b,z=c; //重新赋值 
				else if(f==-1){ //如果相等 
					if(pd(a,b,c)) //进行第二优先级判断 
					  x=a,y=b,z=c; //如果为真,重新赋值 
				}
			}
		}
	}
	if(sum==0) //如果没有一个方案 
	  cout<<"-1"<<endl; //输出-1 
	else //如果不是0 
	  cout<<x<<" "<<y<<" "<<z<<endl; //输出我们找到的最优方案 
	return 0; //结束 
}

这样子，我们复杂度为O(n^2),但是还是会超时，因为n最大为10万，10万的平方铁定超时，所以我们还需要进行优化。

5.暴力循环优化法：

接下来，我们需要从暴力优化法继续进行优化，怎么优化呢？

其实很简单，我们观察b,c.因为4*b+3*c<=n，这说明什么，b<=(n/4) ，c<=(n/3).也就是说，在两重for循环枚举的时候，不需要将b和c都枚举到n了，c只需要枚举到n/3，b只需要枚举到n/4.

最后，暴力循环优化法的复杂度为O((1/3*n)*(1/4*n))乘法分配律拆开，就是O(1/12*n^2).其实最大我们可以将复杂度简化为O(1/28*n^2).枚举b和c,一个是到n/4,一个是到n/3.如果我们枚举a,b,之后计算c,a是枚举到/7,b不变。

这样子来说，就不会超时了！

6.暴力循环优化法代码:

//优化O(n^2): 
#include<bits/stdc++.h> //万能头文件 
using namespace std; //批注使用std类 
int x=0,y=0,z=0; //分别为购买三类物品的最优方案 
int check(int a,int b,int c){ //第一优先级(最小值尽可能大) 
	if(min(a,min(b,c))>min(x,min(y,z))) //如果a,b,c的最小值大于x,y,z的最小值 
	  return 1; //返回1(之后将x,y,z赋值为a,b,c) 
	else if(min(a,min(b,c))==min(x,min(y,z))) //如果两者优先级相同 
	  return -1; //返回-1(之后进行第二优先级比较) 
	return 0; //如果a,b,c的最小值小于x,y,z的最小值(不用管) 
}
bool pd(int a,int b,int c){ //第二优先级(三者相加尽可能大) 
	if(a+b+c>x+y+z) //如果大于 
	  return true; //返回真(之后x,y,z赋值为a,b,c) 
	return false; //返回假(不用管) 
}
int main(){ //main主函数 
	int n,sum=0; //定义 
	cin>>n; //输入
	for(int c=0;c<=(n/3);c++){ //枚举笔记本数量
		for(int b=0;b<=(n/4);b++){ //枚举笔数量 
			if((3*c+4*b)<=n&&(n-(3*c+4*b))%7==0){ //进行判断条件一是否符合 
				sum++; //计数器++ 
				int a=(n-(3*c+4*b))/7; //求出a 
				int f=check(a,b,c); //进行第一优先级判断 
				if(f==1) //如果为1 
				  x=a,y=b,z=c; //重新赋值 
				else if(f==-1){ //如果相等 
					if(pd(a,b,c)) //进行第二优先级判断 
					  x=a,y=b,z=c; //如果为真,重新赋值 
				}
			}
		}
	}
	if(sum==0) //如果没有一个方案 
	  cout<<"-1"<<endl; //输出-1 
	else //如果不是0 
	  cout<<x<<" "<<y<<" "<<z<<endl; //输出我们找到的最优方案 
	return 0; //结束 
}