跳表的简单学习

跳表（SkipList）学习

1. 什么是跳表？

基于“空间换时间”思想，通过给链表建立索引，使得链表能够实现二分查找。

跳表是可以实现二分查找的有序链表。

2. 从单链表到跳表

对于一般的单链表，在其中进行查询是比较复杂的，时间复杂度为O(n)。

因此，可以通过加入新的索引，来加快查询，如加入第一层索引：

在这里插入图片描述

此时，我们可以先在第一层索引中进行查找，确定范围后再转到原始链表中（索引是指向原始链表的）查询，可以有效减少查询的时间。基于此，可以不断地加入索引（加入索引会导致内存占用增加，所以即==“空间换时间”==）：

在这里插入图片描述

如上图所示，带有索引的单链表 —— 跳表，可以实现二分查找。

3. 跳表的查找

3.1 时间复杂度 —— `O(logn)` （原始单链表时间复杂度为`O(n)`）

查找元素的过程是从最高级索引开始，一层一层遍历最后下沉到原始链表。因此，可以定义：

时间复杂度 = 索引的高度 * 每层索引要遍历的次数

假设当前跳表存在n个节点且每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，首先来计算**索引的高度**：

假设原始链表为第0层，那第i层的索引所包含的节点数为： n / 2^i

因此，当无法再向上层提供索引时，当前的索引k满足：2 = n / 2^k

所以最高级索引k可以计算得：k = log2(n) - 1

由于存在第0层，所以最终 索引的高度 = k + 1 = log2(n)

另外，如图所示，由于每两个结点抽出一个上级索引节点，所以在一层索引中至多遍历3个节点

于是：时间复杂度 = log2(n) * 3 = O(logn)

3.2 空间复杂度 —— `O(n)`

同样以n个节点且每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点为例，一级索引元素个数为 n/2、二级索引元素个数为 n/4、三级索引元素个数为 n/8 以此类推。所以，索引节点的总和是：n/2 + n/4 + n/8 + … + 8 + 4 + 2 = n-2，新增的空间复杂度是 O(n)。

显然，每x个结点抽取一个结点会显著影响到时间和空间复杂度：**x越小，跳表的查询速度越快，额外占用的内存越大。**在实际中需要综合考虑实际需求。

同时，由于我们在索引中不需要保存全部内容，只需要保存键值key和几个指针，而不是完整的对象，所以当单个结点对象很大时，索引所带来的空间占用甚至可以忽略不计。

4. 跳表的插入

跳表的原始链表需要保持有序，所以我们像查找元素一样，找到元素应该插入的位置。

重点是在插入数据的时候，索引节点也需要相应的增加、或者重建索引。避免一直往原始列表中添加数据，但是不更新索引，就可能出现两个索引节点之间数据非常多的情况，极端情况甚至退化为单链表。但是如果是重建索引，会**导致每插入一个元素都需要重建索引，造成插入的时间复杂度为O(n)**。

4.1 跳表中维护索引的方法 —— 索引随机分布

前面我们提到一种建立索引的方式是每x个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，但这样会导致索引的维护更加困难。因此，在跳表中使用的是**索引随机分布**这种方式来建立索引。

在这里插入图片描述

如上图所示，跳表的索引不是严格的按照每几个取一个索引，而是随机选择n / 2个作为一级索引、n / 4个作为二级索引…

于是再插入的时候只需要考虑这个元素需要插入到几级索引中，然后再维护索引并把这个元素插入原链表中。而确定这个元素需要插入到几级索引是通过概率算法：有 1/2 的几率建立一级索引、1/4 的几率建立二级索引、1/8 的几率建立三级索引，以此类推…（是有可能不插入索引的）

在确定了要插入的索引等级进行插入时，插入的时间复杂度和查找一致，都是O(logn)。

5. 跳表的删除

删除元素的过程跟查找元素的过程类似，只不过在查找的路径上如果发现了要删除的元素 x，则执行删除操作。如果链表的高度为logn，那时间复杂度最多logn + logn，即O(logn)。

6. 总结

跳表是可以实现二分查找的有序链表；
每个元素插入时随机生成它的level；
最底层包含所有的元素；（原始链表）
如果一个元素出现在level(x)，那么它肯定出现在x以下的level中；
每个索引节点包含两个指针，一个向下，一个向右；（Redis实际实现没有向下的，只维护了向右的，为什么？）
跳表查询、插入、删除的时间复杂度为O(log n)，与平衡二叉树接近；

7. 一些问题

为什么Redis选择使用跳表而不是红黑树（或其他平衡树）来实现有序集合？

Redis 中的有序集合(zset) 支持的操作：

插入一个元素
删除一个元素
查找一个元素
有序输出所有元素
按照范围区间查找元素（比如查找值在 [100, 356] 之间的数据）

其中，前四个操作红黑树也可以完成，且时间复杂度跟跳表是一样的。但是，按照区间来查找数据这个操作，红黑树的效率没有跳表高。按照区间查找数据时，跳表可以做到 O(logn) 的时间复杂度定位区间的起点，然后在原始链表中顺序往后遍历就可以了，非常高效。而红黑树只能定位到端点后，再从首位置开始每次都要查找后继节点，相对来说是比较耗时的。

此外，跳表实现起来很容易且易读，红黑树实现起来相对困难，所以Redis选择使用跳表来实现有序集合。平衡树的插入和删除操作可能引发子树的调整，逻辑复杂，而跳表的插入和删除只需要修改相邻节点的指针，操作简单又快速。

总结：

从内存占用上来比较，跳表比平衡树更灵活一些。平衡树每个节点包含 2 个指针（分别指向左右子树），而跳表每个节点包含的指针数目平均为 1/(1-p)，具体取决于参数 p 的大小。如果像 Redis 里的实现一样，取 p=1/4，那么平均每个节点包含 1.33 个指针，比平衡树更有优势。
在做范围查找的时候，跳表比平衡树操作要简单。在平衡树上，我们找到指定范围的小值之后，还需要以中序遍历的顺序继续寻找其它不超过大值的节点。如果不对平衡树进行一定的改造，这里的中序遍历并不容易实现。而在跳表上进行范围查找就非常简单，只需要在找到小值之后，对原始链表进行遍历就可以。
从算法实现难度上来比较，跳表比平衡树要简单得多。平衡树的插入和删除操作可能引发子树的调整，逻辑复杂，而跳表的插入和删除只需要修改相邻节点的指针，操作简单又快速。

Redis中的zset实现没有向下的指针，那怎么从二级索引跳到一级索引呢？为什么？

查找过程从最高层开始，逐层向下进行。zset虽然没有显式的向下指针，但通过逐层的前向指针可以实现向下移动的效果。以下是查找过程的示例伪代码：

zskiplistNode *zslSearch(zskiplist *zsl, double score, sds ele) {
    zskiplistNode *x = zsl->header;
    for (int i = zsl->level-1; i >= 0; i--) {
        while (x->level[i].forward != NULL && 
               (x->level[i].forward->score < score || 
               (x->level[i].forward->score == score && 
                sdscmp(x->level[i].forward->ele, ele) < 0))) {
            x = x->level[i].forward;		// 到了下一层，还是从这个节点开始，和使用向下的指针结果一致
        }
    }
    x = x->level[0].forward;
    if (x != NULL && score == x->score && sdscmp(x->ele, ele) == 0) {
        return x;
    }
    return NULL;
}

在这个示例中：

从最高层（zsl->level - 1）开始查找。
在当前层中，利用 forward 指针向右移动，直到找到大于或等于目标分数和元素的位置。
如果在当前层无法找到，则移动到下一层（i--），继续查找。
重复上述过程，直到到达最底层（level[0]）。
在最底层进行最终查找，找到目标节点。

虽然 Redis 跳表的节点没有显式的向下指针，但它通过以下方式实现多层级搜索：

多层级结构：节点在不同层级上都有前向指针，允许在每层进行搜索。（是维护一个节点指针数组，表示这个节点在各个层上的指向节点，而不是保存每个层的链表）
逐层向下：查找过程从最高层开始，逐层向下进行，虽然没有显式的向下指针，但通过控制层级（i--）实现向下移动的效果。（因为移动了层级，但还是会在同一个节点上，本质上没区别）
前向指针：每个层级都有前向指针，通过这些指针在同一层中进行快速搜索。

Redis 的跳表实现选择使用多级向右指针而不是显式的向下指针，主要是为了简化实现、节省空间、提高性能，并减少指针操作的复杂性。这种设计使得跳表在实际应用中表现优异，成为一种高效的数据结构。