EM算法

极大似然估计

极大似然估计：(maximum likelihood estimate, MLE) 是一种常用的模型参数估计方法。它假设观测样本出现的概率最大，也即样本联合概率（也称似然函数）取得最大值。

为求解方便，对样本联合概率取对数似然函数
$$\log L(\theta )=\log \mathbb{P}(X|\theta )=\sum _{i=1}^N\log \mathbb{P}({\mathbf{x}}_i|\theta )$$
优化目标是最大化对数似然函数
$$\hat{\theta }=\arg \underset{\theta }{\max }\sum _{i=1}^N\log \mathbb{P}({\mathbf{x}}_i|\theta )$$

假设瓜田里有两种类型的西瓜🍉，瓜农随机抽取了10个西瓜，来了解西瓜的重量分布 $p(x|\theta )$，记录结果如下：

变量	样本
西瓜重量 $x$	5.3 , 5.7, 4.7, 4.3, 3.2, 4.9, 4.1, 3.5, 3.8, 1.7
西瓜品种 $z$	1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2

其中，西瓜的品种 $z$ 是离散分布 $\mathbb{P}(z=k)={\pi }_k$，一般假设两种类型的西瓜服从均值和方差不同的高斯分布 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$和 $N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$。由全概率公式，西瓜重量的概率密度模型
$$p(x;\theta )={\pi }_1\mathcal{N}(x;{\mu }_1,{\sigma }_1^2)+{\pi }_2\mathcal{N}(x;{\mu }_2,{\sigma }_2^2)$$

我们尝试用极大似然估计求解参数$\theta =({\pi }_1,{\pi }_2,{\mu }_1,{\sigma }_1^2,{\mu }_2,{\sigma }_2^2)$。

优化目标函数
$$\begin{gathered} \underset{\theta }{\max }\sum _{z_i=1}\log {\pi }_1\mathcal{N}(x_i;{\mu }_1,{\sigma }_1^2)+\sum _{z_i=2}\log {\pi }_2\mathcal{N}(x_i;{\mu }_2,{\sigma }_2^2) \\ \text{s.t. }{\pi }_1+{\pi }_2=1 \end{gathered}$$
使用拉格朗日乘子法容易求得
$$\begin{gathered} {\pi }_1=0.4,{\pi }_2=0.6 \\ {\mu }_1=5,{\sigma }_1^2=0.54^2 \\ {\mu }_2=3.53,{\sigma }_2^2=0.98^2 \end{gathered}$$

最终得到

$$p(x)=0.4\times \mathcal{N}(x;5,0.54^2)+0.6\times \mathcal{N}(x;3.53,0.98^2)$$

但是，实际中如果瓜农无法辩识标记西瓜的品种，此时概率分布函数变为
$$p(x;\theta )=\pi \mathcal{N}(x;{\mu }_1,{\sigma }_1^2)+(1-\pi )\mathcal{N}(x;{\mu }_2,{\sigma }_2^2)$$

其中品种$z$ 成为隐藏变量。对数似然函数变为
$$\log L(\theta )=\sum _i\log (\pi \mathcal{N}(x_i;{\mu }_1,{\sigma }_1^2)+(1-\pi )\mathcal{N}(x_i;{\mu }_2,{\sigma }_2^2))$$
其中参数 $\theta =(\pi ,{\mu }_1,{\sigma }_1^2,{\mu }_2,{\sigma }_2^2)$。上式中存在"和的对数"，若直接求导将会变得很麻烦。下节我们将会介绍EM算法来解决此类问题。

基本思想

概率模型有时既含有观测变量 (observable variable)，又含有隐变量 (latent variable)。EM（Expectation-Maximization，期望最大算法）是一种迭代算法，用于含有隐变量的概率模型的极大似然估计或极大后验估计，是数据挖掘的十大经典算法之一。

假设现有一批独立同分布的样本
X = { x 1 , x 2 , ⋯   , x N } X=\{x_1,x_2,\cdots,x_N\} X={x1​,x2​,⋯,xN​}
它们是由某个含有隐变量的概率分布 $p(x,z|\theta )$ 生成。设样本对应的隐变量数据
Z = { z 1 , z 2 , ⋯   , z N } Z=\{z_1,z_2,\cdots,z_N\} Z={z1​,z2​,⋯,zN​}

对于一个含有隐变量 $Z$ 的概率模型，一般将 $(X,Z)$ 称为完全数据 (complete-data)，而观测数据 $X$ 为不完全数据(incomplete-data)。

假设观测数据 $X$ 概率密度函数是$p(X|\theta )$，其中$\theta$是需要估计的模型参数，现尝试用极大似然估计法估计此概率分布的参数。为了便于讨论，此处假设 $z$ 为连续型随机变量，则对数似然函数为
$$\log L(\theta )=\sum _{i=1}^N\log p(x_i|\theta )=\sum _{i=1}^N\log {\int }_{z_i}p(x_i,z_i|\theta )\mathrm{d}{z}_i$$

Suppose you have a probability model with parameters $\theta$.
$p(x|\theta )$ has two names. It can be called the probability of $x$ (given $\theta$), or the likelihood of $\theta$ (given that $x$ was observed).

我们的目标是极大化观测数据 $X$ 关于参数 $\theta$ 的对数似然函数
$$\hat{\theta }=\arg \underset{\theta }{\max }\log L(\theta )$$

显然，此时 $\log L(\theta )$ 里含有未知的隐变量 $z$ 以及求和项的对数，相比于不含隐变量的对数似然函数，该似然函数的极大值点较难求解，而 EM 算法则给出了一种迭代的方法来完成对 $\log L(\theta )$ 的极大化。

注意：确定好含隐变量的模型后，即确定了联合概率密度函数 $p(x,z|\theta )$ ，其中$\theta$是需要估计的模型参数。为便于讨论，在此有必要说明下其他已知的概率函数。

联合概率密度函数
$$p(x,z|\theta )=f(x,z;\theta )$$
观测变量 $x$ 的概率密度函数
$$p(x|\theta )={\int }_{z}f(x,z;\theta )\mathrm{d}z$$
隐变量 $z$ 的概率密度函数
$$p(z|\theta )={\int }_{x}f(x,z;\theta )\mathrm{d}x$$
条件概率密度函数
$$p(x|z,\theta )=\frac{p(x,z|\theta )}{p(z|\theta )}=\frac{f(x,z;\theta )}{{\int }_{x}f(x,z;\theta )\mathrm{d}x}$$
和
$$p(z|x,\theta )=\frac{p(x,z|\theta )}{p(x|\theta )}=\frac{f(x,z;\theta )}{{\int }_{z}f(x,z;\theta )\mathrm{d}z}$$
下面给出两种推导方法：一种借助 Jensen 不等式；一种使用 KL 散度。

首先使用 Jensen 不等式推导：使用含有隐变量的全概率公式
$$\begin{array}{rl}\log p(x_i|\theta )& =\log {\int }_{z_i}p(x_i,z_i|\theta )\mathrm{d}{z}_i\\ & =\log {\int }_{z_i}{q}_i(z_i)\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{q_i(z_i)}\mathrm{d}{z}_i\\ & =\log {\mathbb{E}}_z\left(\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{q_i(z_i)}\right)\\ & ⩾{\mathbb{E}}_z\left(\log \frac{p(x_i,z_i|\theta )}{q_i(z_i)}\right)\\ & ={\int }_{z_i}{q}_i(z_i)\log \frac{p(x_i,z_i|\theta )}{q_i(z_i)}\mathrm{d}{z}_i\end{array}$$
其中 $q_i(z_i)$ 是引入的第$i$个样本隐变量$z_i$ 的任意概率密度函数（未知函数），其实 $q$ 不管是任意函数，上式都成立。从后续推导得知，当 $q_i(z_i)$ 是 $z_i$ 的概率密度时，方便计算。

所以
$$\log L(\theta )=\sum _{i=1}^N\log p(x_i|\theta )⩾B(q,\theta )=\sum _{i=1}^N{\int }_{z_i}{q}_i(z_i)\log \frac{p(x_i,z_i|\theta )}{q_i(z_i)}\mathrm{d}{z}_i$$

其中函数 $B$ 为对数似然的下界函数。下界比较好求，所以我们要优化这个下界来使得似然函数最大。

假设第 $t$ 次迭代时 $\theta$ 的估计值是 ${\theta }^{(t)}$，我们希望第 $t+1$ 次迭代时的 $\theta$ 能使 $\log L(\theta )$ 增大，即
$$\log L({\theta }^{(t)})⩽\log L({\theta }^{(t+1)})$$

可以分为两步实现：

• 首先，固定$\theta ={\theta }^{(t)}$ ，通过调整 $q$ 函数使得 $B(q^{(t)},\theta )$ 在 ${\theta }^{(t)}$ 处和 $\log L({\theta }^{(t)})$ 相等；
  $$B(q^{(t)},{\theta }^{(t)})=\log L({\theta }^{(t)})$$

• 然后，固定$q$，优化 ${\theta }^{(t+1)}$ 取到下界函数 $B(q^{(t)},\theta )$ 的最大值。
  $${\theta }^{(t+1)}=\arg \underset{\theta }{\max }B(q^{(t)},\theta )$$

所以
$$\log L({\theta }^{(t+1)})⩾B(q^{(t)},{\theta }^{(t+1)})⩾B(q^{(t)},{\theta }^{(t)})=\log L({\theta }^{(t)})$$

因此，EM算法也可以看作一种坐标提升算法，首先固定一个值，对另外一个值求极值，不断重复直到收敛。

接下来，我们开始求解 $q^{(t)}$ 。Jensen不等式中等号成立的条件是自变量是常数，即
$$\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{q_i(z_i)}=c$$
由于假设 $q_i(z_i)$是 $z_i$ 的概率密度函数，所以
$$p(x_i|\theta )={\int }_{z_i}p(x_i,z_i|\theta )\mathrm{d}{z}_i={\int }_{z_i}c{q}_i(z_i)\mathrm{d}{z}_i=c$$

于是
$$q_i(z_i)=\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{c}=\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{p(x_i|\theta )}=p(z_i|x_i,\theta )$$
可以看到，函数 $q_i(z_i)$ 代表第 $i$ 个数据是 $z_i$ 的概率密度，是可以直接计算的。

最终，我们只要初始化或使用上一步已经固定的 ${\theta }^{(t)}$，然后计算
$$\begin{array}{rl}{\theta }^{(t+1)}& =\arg \underset{\theta }{\max }\sum _{i=1}^N{\int }_{z_i}p(z_i|x_i,{\theta }^{(t)})\log \frac{p(x_i,z_i|\theta )}{p(z_i|x_i,{\theta }^{(t)})}\mathrm{d}{z}_i\\ & =\arg \underset{\theta }{\max }\sum _{i=1}^N{\int }_{z_i}p(z_i|x_i,{\theta }^{(t)})\log p(x_i,z_i|\theta )\mathrm{d}{z}_i\\ & =\arg \underset{\theta }{\max }\sum _{i=1}^N{\mathbb{E}}_{z_i|x_i,{\theta }^{(t)}}[\log p(x_i,z_i|\theta )]\\ & =\arg \underset{\theta }{\max }Q(\theta ,{\theta }^{(t)})\end{array}$$

接下来使用 KL 散度推导：使用含有隐变量的条件概率
$$\begin{array}{rl}\log p(x_i|\theta )& =\log \frac{p(x_i,z_i|\theta )}{p(z_i|x_i,\theta )}\\ & ={\int }_{z_i}{q}_i(z_i)\log \frac{p(x_i,z_i|\theta )}{p(z_i|x_i,\theta )}\cdot \frac{q_i(z_i)}{q_i(z_i)}\mathrm{d}{z}_i\\ & ={\int }_{z_i}{q}_i(z_i)\log \frac{p(x_i,z_i|\theta )}{q_i(z_i)}\mathrm{d}{z}_i+{\int }_{z_i}{q}_i(z_i)\log \frac{q_i(z_i)}{p(z_i|x_i,\theta )}\mathrm{d}{z}_i\\ & =B(q_i,\theta )+KL(q_i\Vert p_i)\end{array}$$
同样 $q_i(z_i)$ 是引入的关于 $z_i$ 的任意概率密度函数（未知函数），函数 $B(q_i,\theta )$ 表示对数似然的一个下界，散度 $KL(q_i\Vert p_i)$描述了下界与对数似然的差距。

同样为了保证
$$\log L({\theta }^{(t)})⩽\log L({\theta }^{(t+1)})$$

分为两步实现：

• 首先，固定$\theta ={\theta }^{(t)}$ ，通过调整 $q$ 函数使得 $B(q^{(t)},\theta )$ 在 ${\theta }^{(t)}$ 处和 $\log L({\theta }^{(t)})$ 相等，即 $KL(q_i\Vert p_i)=0$，于是
  $$q_i(z_i)=p(z_i|x_i,{\theta }^{(t)})$$

• 然后，固定$q$，优化 ${\theta }^{(t+1)}$ 取到下界函数 $B(q^{(t)},\theta )$ 的最大值。
  $${\theta }^{(t+1)}=\arg \underset{\theta }{\max }B(q^{(t)},\theta )$$

算法流程

输入：观测数据 $X$，联合分布 $p(x,z;\theta )$，条件分布$P(z|x,\theta )$

输出：模型参数$\theta$

EM算法通过引入隐含变量，使用极大似然估计（MLE）进行迭代求解参数。每次迭代由两步组成：

• E-step：求期望 (expectation)。以参数的初始值或上一次迭代的模型参数 ${\theta }^{(t)}$ 来计算隐变量后验概率 $p(z_i|x_i,{\theta }^{(t)})$ ，并计算期望(expectation)
  $$Q(\theta ,{\theta }^{(t)})=\sum _{i=1}^N{\int }_{z_i}p(z_i|x_i,{\theta }^{(t)})\log p(x_i,z_i|\theta )\mathrm{d}{z}_i$$

• M-step: 求极大 (maximization)，极大化E步中的期望值，来确定 $t+1$ 次迭代的参数估计值
  $${\theta }^{(t+1)}=\arg \underset{\theta }{\max }Q(\theta ,{\theta }^{(t)})$$

依次迭代，直至收敛到局部最优解。

高斯混合模型

基础模型

高斯混合模型 (Gaussian Mixture Model, GMM) 数据可以看作是从$K$个高斯分布中生成出来的，每个高斯分布称为一个组件 (Component)。

引入隐变量 z ∈ { 1 , 2 , ⋯   , K } z\in\{1,2,\cdots,K\} z∈{1,2,⋯,K}，表示对应的样本 $x$ 属于哪一个高斯分布，这个变量是一个离散的随机变量：
$$\begin{gathered} \mathbb{P}(z=k)={\pi }_k \\ \text{s.t. }\sum _{k=1}^K{\pi }_k=1 \end{gathered}$$
可将 ${\pi }_k$ 视为选择第 $k$ 高斯分布的先验概率，而对应的第$k$ 个高斯分布的样本概率
$$p(x|z=k)=\mathcal{N}(x;{\mu }_k,{\Sigma }_k)$$

于是高斯混合模型
$$p_M(x)=\sum _{k=1}^K{\pi }_k\mathcal{N}(x;{\mu }_k,{\Sigma }_k)$$

其中 $0⩽{\pi }_k⩽1$为混合系数(mixing coefficients)。

高斯混合模型的参数估计是EM算法的一个重要应用，隐马尔科夫模型的非监督学习也是EM算法的一个重要应用。

EM算法

高斯混合模型的极大似然估计
$$\hat{\theta }=\arg \underset{\theta }{\max }\sum _{i=1}^N\log \sum _{k=1}^K{\pi }_k\mathcal{N}(x_i;{\mu }_k,{\Sigma }_k)$$
其中参数 ${\theta }_k=({\pi }_k,{\mu }_k,{\Sigma }_k)$，使用EM算法估计GMM的参数$\theta$。

依照当前模型参数，计算隐变量后验概率：由贝叶斯公式知道
$$\begin{array}{rl}P(z_i=k|x_i)& =\frac{P(z_i=k)p(x_i|z_i=k)}{p(x_i)}\\ & =\frac{{\pi }_k\mathcal{N}(x_i;{\mu }_k,{\Sigma }_k)}{{\sum }_{k=1}^K{\pi }_k\mathcal{N}(x_i;{\mu }_k,{\Sigma }_k)}\\ & ={\gamma }_{ik}\end{array}$$

令 ${\gamma }_{ik}$表示第$i$个样本属于第$k$个高斯分布的概率。

E-step：确定Q函数

$$\begin{array}{rl}Q(\theta ,{\theta }^{(t)})& =\sum _{i=1}^N\sum _{k=1}^{K}p(z_i=k|x_i,{\mu }^{(t)},{\Sigma }^{(t)})\log p(x_i,z_i=k|\mu ,\Sigma )\\ & =\sum _{i=1}^N\sum _{k=1}^K{\gamma }_{ik}\log {\pi }_k\mathcal{N}(x;{\mu }_k,{\Sigma }_k)\\ & =\sum _{i=1}^N\sum _{k=1}^K{\gamma }_{ik}(\log {\pi }_k+\log \mathcal{N}(x;{\mu }_k,{\Sigma }_k))\end{array}$$

M-step：求Q函数的极大值

上面已获得的$Q(\theta ,{\theta }^{(t)})$分别对 ${\mu }_k,{\Sigma }_k$求导并设为0。得到
$$\begin{gathered} {\mu }_k^{(t+1)}=\frac{{\sum }_{i=1}^N{\gamma }_{ik}{x}_i}{{\sum }_{i=1}^N{\gamma }_{ik}} \\ {\Sigma }_k^{(t+1)}=\frac{{\sum }_{i=1}^N{\gamma }_{ik}(x_i-{\mu }_k^{(t+1)})(x_i-{\mu }_k^{(t+1)}{)}^T}{{\sum }_{i=1}^N{\gamma }_{ik}} \end{gathered}$$

可以看到第$k$个高斯分布的${\mu }_k,{\Sigma }_k$ 是所有样本的加权平均，其中每个样本的权重为该样本属于第$k$个高斯分布的后验概率 ${\gamma }_{ik}$。

对于混合系数 ${\pi }_k$，因为有限制条件，使用拉格朗日乘子法可求得
$${\pi }_k^{(t+1)}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{\gamma }_{ik}$$

即第$k$个高斯分布的混合系数是属于$k$的样本的平均后验概率，由此运用EM算法能大大简化高斯混合模型的参数估计过程，在中间步只需计算${\gamma }_{ik}$就行了。

高斯混合模型的算法流程如下图所示：

高斯混合聚类

高斯混合聚类假设每个类簇中的样本都服从一个多维高斯分布，那么空间中的样本可以看作由$K$个多维高斯分布混合而成。

引入隐变量$z$ 标记簇类别，这样就可以使用高斯混合模型
$$p_M(x)=\sum _{k=1}^K{\pi }_k\mathcal{N}(x;{\mu }_k,{\Sigma }_k)$$

使用EM算法迭代求解。

相比于K-means更具一般性，能形成各种不同大小和形状的簇。K-means可视为高斯混合聚类中每个样本仅指派给一个混合成分的特例
$${\gamma }_{ik}=\{\begin{array}{ll}1,& \text{if }k=\arg {\min }_k\Vert x_i-{\mu }_k{\Vert }^2\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$$
且各混合成分协方差相等，均为对角矩阵 ${\sigma }^{2}I$。

附录

Jensen 不等式

若 $f$ 是凸函数(convex function)，对任意的 $\lambda \in [0,1]$，下式恒成立
$$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)⩽\lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$$
Jensen’s inequality就是上式的推广，设 $f(x)$ 为凸函数，${\lambda }_i\in [0,1],{\sum }_i{\lambda }_i=1$ ，则
$$f(\sum _i{\lambda }_i{x}_i)⩽\sum _i{\lambda }_{i}f(x_i)$$
若将 ${\lambda }_i$ 视为一个概率分布，则可表示为期望值的形式
$$f(\mathbb{E}[x])⩽\mathbb{E}[f(x)]$$

显然，如果 $f$ 是凹函数(concave function)，则将不等号反向。