1.线性筛法（欧拉筛法）介绍

我们的目标是筛出 2 ~ n 以内的质数最最最暴力的方法就是一个数一个数判断是不是质数但是这样的时间复杂度是非常高的而我们本文的欧拉筛法可以做到时间复杂度仅为O(N)

主要的思想就是一个质数的倍数(倍数为1除外)肯定是合数，那么我们利用这个质数算出合数，然后划掉这个合数，下次就可以不用判断它是不是质数，节省了大量的时间。
其实合数的倍数也是合数，这点也可以利用，划去其他的合数

其实这种思想也有一种算法叫埃式筛法，但是埃式筛法会重复地划掉一些合数，相比于欧拉筛法，并不是那么好，所以我们本文只介绍欧拉筛法，感兴趣的小伙伴可以去了解一下埃式筛法。

2.欧拉筛法代码以及分析

在这里插入图片描述

const int N = 1000010;
bool v[N]; //记录是不是合数，全局变量默认false
int pri[N],cnt; //pri[i]表示存放的质数，cnt记录质数个数,全局变量默认是0
void get_pri(int n) //参数是求 n 以内的质数
{
  for(int i = 2; i <= n;i++) //从 2 开始筛
  {
      if(!v[i]) //如果没有被划掉(表示不是合数)就说明当前i是质数
      {
          pri[++cnt] = i;//从pri[1]开始存放，所以是++cnt,cnt开始是0
      }
      for(int j = 1; i * pri[j] <= n;j++)//开始枚举已记录的质数，利用这些质数划掉合数 
      {   //for循环里面，i * pri[j] <= n，首先要保证划掉的合数不能大于n，不然没意义
          v[i * pri[j]] = true;//划掉合数
          if(i % pri[j] == 0)//这段代码是精髓
          {
              break;
              //如果i是质数，则最多枚举到自身中断
              //如果i是合数，则最多枚举到自身的最小质数中断
          }
      }
  }
}

我们来模拟一下
在这里插入图片描述

const int N = 1000010;
bool v[N]; 
int pri[N],cnt; 
void get_pri(int n) 
{
  for(int i = 2; i <= n;i++) 
  {
      if(!v[i]) 
      {
          pri[++cnt] = i;
      }
      for(int j = 1; i * pri[j] <= n;j++) 
      {  
          v[i * pri[j]] = true;
          if(i % pri[j] == 0)
          {
              break;
          }
      }
  }
}

求30以内的质数

i = 2时，2不是合数，所以进入if ，pri[1] = 2。
然后开始准备划掉合数，最下面的for循环判断条件 2 * pri[1] = 2 * 2 = 4 <= 30,进入循环
v[2 * pri[1]] = v[2 * 2] = v[4] = true,所以4这个数被我们划掉了，下次不会判断它了。
然后 if(2 % pri[1] == 0) ,就是if(2 % 2 == 0),直接break,
满足i是质数，则最多枚举到自身中断。

在这里插入图片描述

接下来我们直接跳到 i = 4 是，4是合数

const int N = 1000010;
bool v[N]; 
int pri[N],cnt; 
void get_pri(int n) 
{
  for(int i = 2; i <= n;i++) 
  {
      if(!v[i]) 
      {
          pri[++cnt] = i;
      }
      for(int j = 1; i * pri[j] <= n;j++) 
      {  
          v[i * pri[j]] = true;
          if(i % pri[j] == 0)
          {
              break;
          }
      }
  }
}

i = 4 时，v[4] 上面被我们划掉了，不进入所以不加入到 pri数组里面去
然后开始准备划掉合数
for循环里面 4 * pri[1] == 8 < 30 ，满足条件进入循环
v[4 * 2] = v[8] = true,划掉8这个数
if(4 % pri[1] == 0),也就是if(4 % 2 == 0)满足条件，直接break
满足i是合数时，最多枚举到自身最小的质因子中断。

剩下的大家可以自行代入上面的数值模拟一下。

3.总结

欧拉筛法

 if(i % pri[j] == 0)
{
 		break;
}

这段代码是精髓，每次划掉合数时，选择恰当的时机及时中断，避免了后面重复划掉合数，大大提高了算法的效率。
当 i 是质数，而pri[j]里面都是质数，i 只有枚举到自己才能整除等于0，才能中断，也就是i是质数时，最多枚举到自身才中断。
当i 是合数，i最多枚举到自身最小的质因子就中断