一、知识概要

本节主题是线性变换与矩阵的关联，从图像压缩与信号处理的应用引入，介绍几种方便的基向量：傅里叶，小波。最后从代数角度大体上介绍了基变换与变换矩阵的关系。

二、图像处理

首先我们假设有一个 512 * 512 的黑白图像，那么它的大体性质如下：

由此看来，每个图像都可以使用一个向量 x 来表示，其中的各个分量代表图像中的每一个像素点。此时，x∈ 𝑅𝑛，n = 512 * 512。这既是我们得到的信息，将图像抽象为一个长度为 n 的向量。如果是彩色图像长度就是三倍，就是 3 * 512 * 512。因为我们需要三个值来代表颜色。 我们使用 JPEG 方式压缩图像。就是利用基变换来压缩储存空间。怎么做呢？具体来说，一个图像中总有颜色相近的点，或者类似的点，而我们在压缩之前是使用标准基储存图像，其实我们没必要这么做，比如蓝衬衫，黑板这类颜色在很大一部分上是相近的。那么我们只要使用来储存这部分信息即可。不需要再用标准基来细致入微的储存相近的信息。由此我们看出，怎样选择储存信息的基，是很重要的一个问题。

三．两个重要的基

2.1 傅里叶基

JPEG 处理图像压缩的方法就是先将图像分块，在使用傅里叶基进行处理，最后进行压缩。

如上图，首先将图片划分为若干个 88 区域，每个区域中有 64 个元素，再使用傅里叶基进行变换。
88 的图像傅里叶基如下：

整个处理流程如下：

如上，整个处理过程中，第一步傅里叶基的变换过程是无损处理，而第二部的压缩过程是有损处理，最后导致 C’中很多项都是 0，需要储存的仅剩下很少的几项，这个过程中我们完成了压缩。
2.2 小波
小波也是一组很好的基，在 8*8 的情况下，其基为：


2.3 总结

四、基变换

4.1 坐标角度的基变换

4.2 线性变换矩阵角度的基变换

4.3 总结

五、学习感悟

本节内容主要通过线性变换与基变换介绍了其应用：图像压缩，这部分的介绍都比较概括，教授的主要目的是让我们了解这些东西都可以用来做什么以及它们都具有怎样的性质。主要注意的就是线性变换与矩阵之间的关系，以及不同基下的变换会有什么特点。