一、何谓完美数

• 完美数是一种特殊的自然数，它等于其所有正除数（不包括其本身）之和。完美数非常稀有，并且只存在于偶数中。第一个完美数是$6$，其除数$1$、$2$、$3$的和等于它本身。完美数与梅森素数紧密相关，如果$2^p-1$是梅森素数，那么$2^{p-1}(2^p-1)$就是完美数。古希腊数学家欧几里得首次描述了完美数，但直到现代，已知的完美数仍然不多。寻找完美数是数论中一个古老而深奥的问题，至今仍在数学研究中占有一席之地。随着数值的增大，发现新的完美数变得越来越困难，需要高效的算法和强大的计算资源。
• $6=1+2+3$是最小的完美数，不仅如此，$6=1\times 2\times 3$，《圣经》开篇《创世纪》里提到，上帝用6天的时间创造了世界（第$7$天是休息日），而相信地心说的古希腊人认为，月亮围绕地球旋转所需的时间是$28$天（即便在哥白尼的眼里，太阳系也恰好有$6$颗行星）。古罗马思想家圣奥古斯都在《上帝之城》中写道：“$6$这个数本身就是完美的，并非因为上帝造物用了$6$天；事实上，恰恰因为$6$是完美的，所以上帝在$6$天之内把一切事物都造好了。”
• 迄今为止（$2024$年$7$月$9$日），人们只发现51个偶完美数，没有人找到一个奇完美数，也没有人能够否定它的存在。不难证明，偶完美数均以数字$6$或$8$结尾。古希腊人曾猜测它们交替以$6$和$8$结尾，后来被证实是错误的。统计已有的完美数，以$8$结尾的和以$6$结尾的完美数分别是$19$个和$32$个，这个比值趋近于黄金分割比！有意思的是，黄金分割恰好也是毕达哥拉斯学派提出来的，只是他们当初没想过其与完美数之间可能存在某种联系。
• 所谓黄金分割比是指把一条线段分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618$…按此比例设计的造型特别美丽，被称为黄金分割。这个数值不仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，也在管理、工程设计等方面有重要的应用，在日常生活中的应用也比比皆是。

二、寻找完美数

（一）编程思路

1. 理解完美数与梅森素数的关系：完美数是形式为$2^{p-1}(2^p-1)$的数，其中$2^p-1$必须是梅森素数。

2. 实现Lucas-Lehmer素性测试：这是检测梅森素数的一种有效方法。对于每个$p$，计算序列直到$p-2$项，如果最终结果为$0$，则$2^p-1$是素数。

3. 寻找梅森素数：从$p=2$开始，对每个$p$调用lucasLehmerPrime函数，检查$2^p-1$是否为素数。

4. 计算并输出完美数：一旦找到梅森素数，根据完美数的公式计算相应的完美数，并输出结果。

5. 设置搜索限制：程序将持续寻找并输出完美数，直到找到大于预设限制的数为止。

6. 优化与考虑：对于大数计算，使用BigInteger类处理可能的溢出问题。同时，考虑到计算量可能非常大，实际应用中可能需要进一步优化算法或使用并行计算。

7. 代码实现：将上述思路转化为Java代码，使用BigInteger类进行大数运算，实现完美数的搜索程序。

（二）编写程序

• 在net.huawei.number包里创建PerfectNumberFinder类
  

package net.huawei.number;

import java.math.BigInteger;

/**
 * 功能：完美数寻找器
 * 作者：华卫
 * 日期：2024年07月09日
 */
public class PerfectNumberFinder {

    public static void main(String[] args) {
        // 设置寻找完美数的上限
        findPerfectNumbers(new BigInteger("1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000"));
    }

    /**
     * 执行Lucas-Lehmer素性测试来检查2^p - 1是否为梅森素数。
     *
     * @param p 用于计算2^p - 1的指数
     * @return 如果2^p - 1是素数，则返回true，否则返回false
     */
    public static boolean lucasLehmerPrime(int p) {
        if (p == 2) {
            return true; // 2^2 - 1是最小的梅森素数
        }
        BigInteger s = BigInteger.valueOf(4); // 初始值
        BigInteger M = BigInteger.ONE.shiftLeft(p).subtract(BigInteger.ONE); // 计算2^p - 1
        for (int i = 0; i < p - 2; i++) {
            // 应用Lucas-Lehmer迭代过程
            s = s.multiply(s).subtract(BigInteger.valueOf(2)).mod(M);
        }
        return s.equals(BigInteger.ZERO); // 如果s为0，则2^p - 1是素数
    }

    /**
     * 寻找并打印所有小于给定限制的完美数
     *
     * @param limit 完美数搜索的上限值
     */
    public static void findPerfectNumbers(BigInteger limit) {
        int p = 2; // 从最小的梅森素数候选指数开始
        int count = 0;
        while (true) {
            if (lucasLehmerPrime(p)) {
                // 如果找到梅森素数，计算相应的完美数
                BigInteger mersennePrime = BigInteger.ONE.shiftLeft(p).subtract(BigInteger.ONE);
                BigInteger perfectNumber = BigInteger.ONE.shiftLeft(p - 1).multiply(mersennePrime);
                // 统计找到的完美数数量
                count++;
                // 打印梅森素数和对应的完美数
                System.out.println("梅森素数: " + mersennePrime);
                System.out.println("完 美 数: " + perfectNumber);
                // 如果完美数大于给定限制，则停止搜索
                if (perfectNumber.compareTo(limit) > 0) {
                    break;
                }
            }
            p++; // 移动到下一个候选指数
        }
        System.out.println("找到" + count + "个完美数~");
    }
}

（三）运行程序

• 查看结果，在指定范围内找到12个完美数
  

三、实战小结

• 通过编写和运行完美数寻找器程序，我们深入理解了完美数与梅森素数的内在联系，体验了大数计算的挑战，并认识到了算法优化的重要性。此过程不仅锻炼了编程技能，还激发了我们对数论奥秘的探索兴趣。尽管寻找大完美数极具难度，但使用BigInteger类和Lucas-Lehmer测试，我们能够有效地识别梅森素数，进而发现新的完美数。