本文主要用来讨论奇异值分解（SVD)的一些核心概念以及它的物理意义和实际意义，说到底就是：

这东西有什么用？是怎么起作用的？

我们按顺序一步步来拆解这些问题并且分析。

---

引言

之前也只是模棱两可地了解过SVD的功能，但一直没深入，这次恰好看到一篇论文用SVD作为主要创新点，机缘巧合之下就想完全弄明白，所以这就是这篇文章诞生的原因。

文章信息如下：

这篇paper所研究的问题

Transformer模型在自然语言处理和其他领域的应用已成为主流。然而，这些模型通常需要大量的计算资源进行训练和推理。本研究发现，通过选择性地移除Transformer模型中某些层的高阶权重成分，可以显著提升模型的性能。这一方法被称为LAyer-SElective Rank reduction (LASER)，可以在模型训练完成后进行，无需额外的参数或数据。

这篇文章的作者如何得到这个idea的？

由实验驱动的，而不是从理论开始。

本文中提出的LASER方法主要是基于实验发现，即通过对大型语言模型（LLMs）的特定层进行低秩近似可以改善模型性能。文章中并没有详细描述理论推导来证明为何这种低秩近似会有效，而是通过广泛的实验来展示这种方法在多种情况下的有效性。

实验结果表明，在某些情况下，低秩近似可以提高模型在特定任务上的表现，尤其是在处理训练数据中不常见的信息时。文章中对这种现象进行了一些初步的分析和假设，比如提出高阶分量可能捕获了模型训练过程中的噪声，而去除这些噪声成分可以通过“去噪”来提高模型的准确性。

然而，对于为何特定层的低秩近似能够导致性能提升，以及为何这种现象在后层更为常见等问题，文章承认需要进一步的研究来深入理解背后的机制。因此，可以认为文章的发现主要是实验驱动的，而不是由理论推导所引导。

那么，什么是“低秩近似”？为何需要它？

Q： 为什么需要低秩近似
A：为了减少计算消耗，提高效率。

Q：什么是“低秩近似”？
A：低秩近似（low-rank approximation）是一种通过保留矩阵中最重要的特征分量，来减少矩阵维度和复杂度的方法。

为什么要保留矩阵中最重要的特征分量？

其实很简单，直观来说，我们舍弃了一些不重要的特征分量，那么就会减少模型中的一些数据（在这里，这些特征分量其实就是模型参数），所以保留最重要的那些，就会把模型的大部分能力保留下来，尽管舍弃了一些特征分量，对模型能力的影响也不会很大，因为最重要的数据（最重要的特征分量即最重要的参数)是被保留了的。

接下来，如何计算出特征分量？如何挑选最重要的特征分量？

这时候我们就要用到我们的主角：奇异值分解（SVD）。

详细谈谈SVD

在奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）中，我们将一个矩阵 $W$ 分解为三个矩阵的乘积：

$W=U\Sigma V^T$

其中，$U$ 和 $V$ 是正交矩阵，$\Sigma$ 是对角矩阵，包含了 $W$ 的奇异值，且这些奇异值按从大到小的顺序排列。具体来说，$\Sigma$ 的对角线元素 ${\sigma }_i$ 满足：

${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge \cdots \ge {\sigma }_r\ge 0$

这里，$r$ 是矩阵 $W$ 的秩。

高阶和低阶分量的判定

“高阶”和“低阶”分量的判定是基于奇异值的大小。通常，较大的奇异值对应的奇异向量组合起来的分量被称为“低阶”分量，而较小的奇异值对应的分量则被称为“高阶”分量。这样的命名是基于以下原因：

1. 信息贡献：较大的奇异值 ${\sigma }_i$ 对应的奇异向量组合（即 $u_i{v}_i^T$）通常包含了更多的原始矩阵 $W$ 的信息。这些成分在重构矩阵时起到了主要作用。

2. 噪声贡献：较小的奇异值 ${\sigma }_i$ 对应的奇异向量组合包含的信息较少，往往更多地体现为噪声和细节，而不是主要信息。因此，在很多应用中，这些较小的奇异值和对应的分量可以被忽略，从而得到一个低秩的近似。

高阶和低阶分量的命名原因
频率域解释：
在傅里叶变换中，一个信号可以分解为不同频率的正弦波和余弦波的叠加。低频分量（低阶分量）通常包含信号的主要结构和重要信息，而高频分量（高阶分量）通常包含细节和噪声。
类比到奇异值分解，较大的奇异值对应的分量被认为是低频分量，包含了数据的主要信息和结构，而较小的奇异值对应的分量则包含了高频噪声和细节。

具体描述

假设 $W$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，通过 SVD 分解后，我们有：

$W={\sum }_{i=1}^r{\sigma }_i{u}_i{v}_i^T$

其中，${\sigma }_i$ 是奇异值，$u_i$ 和 $v_i$ 分别是 $U$ 和 $V$ 矩阵的列向量。对于一个秩为 $k$ 的近似矩阵 $W_k$，我们只保留前 $k$ 个最大的奇异值及其对应的奇异向量：

$W_k={\sum }_{i=1}^k{\sigma }_i{u}_i{v}_i^T$

这里，保留的 ${\sigma }_i$ 较大，贡献了主要的信息量。这些成分被认为是“低阶”成分。

而被舍弃的部分：

$W_{r-k}={\sum }_{i=k+1}^r{\sigma }_i{u}_i{v}_i^T$

这些成分对应于较小的奇异值，往往包含了较多的噪声信息，被称为“高阶”成分。

例子

假设矩阵 ( W ) 的奇异值分解结果为：
$W=U\left(\begin{array}{cccc}{\sigma }_1& 0& \dots & 0\\ 0& {\sigma }_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & {\sigma }_n\end{array}\right)V^T$
其中 ${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge \dots \ge {\sigma }_n$ 为奇异值。

• ${\sigma }_1$ 对应的分量 $u_1{v}_1^T$ 是最主要的特征。
• ${\sigma }_n$ 对应的分量 $u_n{v}_n^T$ 是最不重要的特征。

通过移除 ${\sigma }_n$ 对应的分量，保留 ${\sigma }_1$ 到 ${\sigma }_k$ 对应的分量，可以实现低秩近似，即：
$W\approx U_k{\Sigma }_k{V}_k^T$
其中 ${\Sigma }_k$仅包含前 $k$ 个较大的奇异值。

回到文章：采用SVD来保证不严重影响模型能力的前提下而减少模型的参数量

在文章中，作者利用SVD来识别和去除Transformer模型中权重矩阵的高阶分量，这些高阶分量对应于较小的奇异值。通过这种方式，作者们实现了对模型的低秩近似，即LASER（Layer-Selective Rank Reduction）。具体来说，他们保留了权重矩阵中与较大奇异值对应的主要奇异向量，而忽略了那些与较小奇异值相关的高阶分量。这种选择性地去除权重矩阵中的成分，被认为可以减少模型中的噪声，从而提高模型在某些任务上的性能。

在奇异值分解（SVD）中，给定一个矩阵 $W$，可以将其分解为 $W=U\Sigma V^T$，其中 $U$ 和 $V$ 是正交矩阵，$\Sigma$ 是对角矩阵，其对角线元素为奇异值，且按降序排列。

在这种分解中：

• 奇异值的大小表示对应奇异向量在原矩阵中的重要性。
• 较大的奇异值对应的奇异向量对矩阵的主要特征贡献较大。
• 较小的奇异值对应的奇异向量对矩阵的特征贡献较小。

因此，“高阶”分量是指那些对应较小奇异值的奇异向量，因为这些分量对矩阵整体特征的贡献较小。相对地，“低阶”分量是指那些对应较大奇异值的奇异向量，因为这些分量对矩阵整体特征的贡献较大。

在这篇文章中，所指的高阶分量是指奇异值分解（SVD）中的奇异值按大小降序排列后，排在后面的那些分量。具体来说：

LASER操作：文章中的LASER操作正是通过这种选择性地忽略较小奇异值来实现的。例如，如果设置 $\rho$ 为某个小于1的值，那么只有排名前 $\rho$ 倍最大秩的奇异值会被保留，其余的则被视为高阶分量并被去除。

通过这种方式，LASER方法可以减少模型的复杂性，有时还能提高模型在特定任务上的性能，尤其是在处理训练数据中不常见的信息时。