定理：G = (a)是n阶循环群，则：

（1）|a^r| = n/(r,n)（(r,n)是r和n的最大公因数）；

（2）当(r,n) = 1时，a^r也是一个生成元；

（3）G中有欧拉函数φ(n)个生成元（φ(n)表示小于n且与n互素的非负整数的个数）。

（证明过程暂无，后续可能会补充）

证：（1）设G = (a)，|a^r| = t，令d = (r,n)，

要证|a^r| = n/(r,n) = n/d，只需证t = n/d，即只需证t|(n/d)，且(n/d)|t（t整除n/d，且n/d整除t），

因为(r,n) = d，所以存在整数r1,n1，满足r = dr1，n = dn1，且(r1,n1) = 1，

①由于|a| = n，所以(a^r)^(n/d) = (a^n)^(r/d) = (a^n)^r1 = e^r1 = e，从而有t|(n/d)；

②a^(rt) = (a^r)^t = e，因为|a| = n，所以n|(rt)，

从而(dn1)|(dr1t)，又因为d ≠ 0，所以有n1|r1t，而又(n1,r1) = 1，所以n1|t，即(n/d)|t。

这样我们就证明了t|(n/d)且(n/d)|t，因此t = n/d，即|a^r| = t = n/d = n/(r,n)。

（2）因为|G| = n，所以要证a^r也能生成G，只需证|a^r| = n，

因为|a| = n，所以由（1）知|a^r| = n/(r,n) = n/1 = n = |G|，

所以a^r也是G的生成元。

（3）暂无，后续有的话会补充。

 

例1：证明，一个循环群一定是一个交换群。

证：设G = (a)，对任意的a^m,a^n∈G，有a^m o a^n = a^(m+n) = a^n o a^m，

因此G是一个交换群。

 

例2：(G,o)是一个循环群，(G,o)∼(G1,o1)，证明，(G1,o1)也是一个循环群。

证：设G = (a)，定义Φ：G→G1是满同态映射，

要证G1是一个循环群，只需要找出G1中的一个生成元，

因Φ是满射，所以对任意Φ(b)∈G1，都存在b∈G与之对应，

又因G是循环群，所以存在m∈Z，满足a^m = b，

从而Φ(b) = Φ(a^m) = Φ(a o a o ... o a)(m个a) = Φ(a) o1 Φ(a) o1 ... o1 Φ(a)(m个Φ(a)) = [Φ(a)]^m，

也就是说，对于任意的Φ(b)∈G1，都存在m∈Z，使得Φ(b) = [Φ(a)]^m，

且由于Φ是从G到G1的映射，所以Φ(a)∈G1，

因此Φ(a)是G1的生成元，G1中任意元素都可以由其生成，所以(G1,o1)是循环群。

 

例3：设(G,o)为无限阶循环群，(G1,o1)为任一循环群，证明，(G,o)∼(G1,o1)。

证：设G = (a)，G1 = (a1)，定义Φ：G→G1为Φ(a^m) = a1^m，

因为G是无限阶循环群，所以G = {...,a^(-3),a^(-2),a^(-1),a^0,a^1,a^2,a^3,...}（见第23篇文章循环群基本定理的证明），

对任意的a^m∈G，存在唯一的a1^m∈G1与之对应，因此Φ是映射，

而对任意的a1^m∈G1，存在a^m∈G与之对应（未必唯一，因为(G1,o1)也许是有限循环群），因此Φ是满射，

对任意的a^m,a^n∈G，有Φ(a^m o a^n) = Φ(a^(m+n)) = a1^(m+n) = a1^m o1 a1^n = Φ(a^m) o1 Φ(a^n)，所以Φ是同态映射，

综上所述，(G,o)∼(G1,o1)。

 

（待续……）