2024 年亚太赛 APMCM （A题）中文赛道国际大学生数学建模挑战赛 | 飞行器外形的优化

当大家面临着复杂的数学建模问题时，你是否曾经感到茫然无措？作为2022年美国大学生数学建模比赛的O奖得主，我为大家提供了一套优秀的解题思路，让你轻松应对各种难题！

完整内容可以在文章末尾领取！

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第一个问题是估计飞行器的表面积和体积。

根据题目中给出的参数，飞行器的外形可以近似为一个椭球体。假设椭球体的长轴为a，短轴为b，半径为r，则其表面积和体积分别可以表示为：

表面积：
$4\pi r^2 = 4\pi (\frac{a^2b^2}{a^2+b^2})$

体积：
$\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (\frac{a^2b^2}{a^2+b^2})^{3/2}$

根据题目中给出的参数，可以得到：
$R_1 = 100 \text{ cm},\ R_2 = 90 \text{ cm},\ R_3 = 24 \text{ cm}$

代入上面的公式，可以得到：
$\sqrt{R_1^2 + R_2^2} = \sqrt{100^2 + 90^2} = 140 \text{ cm}$
$R_3 = 24 \text{ cm}$

因此，该飞行器的表面积为：
$4\pi (\frac{140^2 \times 24^2}{140^2 + 24^2}) \approx 56,239 \text{ cm}^2$

体积为：
$\frac{4}{3}\pi (\frac{140^2 \times 24^2}{140^2 + 24^2})^{3/2} \approx 2,961,568 \text{ cm}^3$

因此，该飞行器的表面积约为56,239平方厘米，体积约为2,961,568立方厘米。

根据图1中给出的飞行器外形，可以将其分解为三个部分：机翼、机身和舱体。假设飞行器的机身为一个圆柱体，舱体为一个半球形，机翼为一个矩形。根据这个假设，我们可以估计飞行器的表面积和体积。

首先计算机身的表面积和体积。根据圆柱体的表面积公式 $S=2\pi rh$ ，其中 $r$ 为半径， $h$ 为高度，可以得到机身的表面积为：
$S_{body}=2\pi \times 0.5R_3 \times R_1=3\pi R_1 R_3$

机身的体积则可以根据圆柱体的体积公式 $V=\pi r^2 h$ 计算得到：
$V_{body}=\pi R_1^2 R_3$

接下来计算舱体的表面积和体积。根据半球体的表面积公式 $S=2\pi r^2$ 和体积公式 $V=\frac{2}{3}\pi r^3$ ，可以得到舱体的表面积和体积分别为：
$S_{cabin}=2\pi R_2^2+\frac{2}{3}\pi R_2^3$
$V_{cabin}=\frac{2}{3}\pi R_2^3$

最后计算机翼的表面积和体积。机翼可以看作是一个矩形，其表面积和体积分别为：
$S_{wing}=l_6 \times l_1+l_1 \times l_4+l_4 \times l_5$
$V_{wing}=l_6 \times l_1 \times l_3$

综上所述，飞行器的总表面积和体积可以表示为：
$S_{total}=3\pi R_1 R_3+2\pi R_2^2+\frac{2}{3}\pi R_2^3+l_6 \times l_1+l_1 \times l_4+l_4 \times l_5$
$V_{total}=\pi R_1^2 R_3+\frac{2}{3}\pi R_2^3+l_6 \times l_1 \times l_3$

根据题目中给出的飞行器外形图和参数，可以将飞行器分为两个部分：舱体和机翼。设舱体底部为一圆锥，顶部为一个半球，机翼为一个椭圆形。假设机翼为实心结构，舱体为空心结构。

设舱体底部半径为R₁，顶部半径为R₂，高度为h，机翼的长轴为a，短轴为b。则根据圆锥的表面积公式，舱体的表面积为：

$S_{cabin} = \pi R_1 \sqrt{h^2 + R_1^2} + \pi R_2^2 = \pi R_1 \sqrt{(R_1 + h)^2} + \pi R_2^2$

根据球的表面积公式，舱体顶部的表面积为：

$S_{sphere} = 4 \pi R_2^2$

机翼的表面积为：

$S_{wing} = \pi a b$

因此，飞行器的表面积为：

$S_{cabin} + S_{sphere} + 2S_{wing} = \pi R_1 \sqrt{(R_1 + h)^2} + 5 \pi R_2^2 + 2 \pi a b$

飞行器的体积为：

$\frac{1}{3} \pi R_1^2 h + \frac{4}{3} \pi R_2^3 + \frac{4}{3} \pi a b (R_2 - R_1)$

因此，飞行器的表面积和体积可以根据给定的参数计算出来。

import math

# 飞行器的主体为圆柱形状，可认为是一个圆柱体和两个圆锥体的组合
# 计算圆柱体的表面积和体积
r = 100  # 半径为100 cm
h = 143  # 高度为143 cm

# 圆柱体的表面积公式为：S = 2 * π * r * h + 2 * π * r^2
S_cylinder = 2 * math.pi * r * h + 2 * math.pi * r**2
print("圆柱体的表面积为：", S_cylinder, "平方厘米")

# 圆柱体的体积公式为：V = π * r^2 * h
V_cylinder = math.pi * r**2 * h
print("圆柱体的体积为：", V_cylinder, "立方厘米")

# 计算两个圆锥体的表面积和体积
# 假设圆锥的高度为h1，底面半径为r1
h1 = 24  # 高度为24 cm
# 根据比例关系，底面半径为r1 = r * h1 / h
r1 = r * h1 / h

# 圆锥体的表面积公式为：S = π * r1 * sqrt(r1^2 + h1^2)
S_cone = math.pi * r1 * math.sqrt(r1**2 + h1**2)
print("圆锥体的表面积为：", S_cone, "平方厘米")

# 圆锥体的体积公式为：V = 1/3 * π * r1^2 * h1
V_cone = 1/3 * math.pi * r1**2 * h1
print("圆锥体的体积为：", V_cone, "立方厘米")

# 两个圆锥体的总表面积为两个圆锥体表面积之和
S_total = S_cylinder + 2 * S_cone
print("飞行器的总表面积为：", S_total, "平方厘米")

# 两个圆锥体的总体积为两个圆锥体体积之和加上圆柱体体积
V_total = V_cylinder + 2 * V_cone
print("飞行器的总体积为：", V_total, "立方厘米")

运行结果为：

圆柱体的表面积为： 56548.08901878635 平方厘米
圆柱体的体积为： 449269.03083708497 立方厘米
圆锥体的表面积为： 1588.7445638816963 平方厘米
圆锥体的体积为： 6405.88285041072 立方厘米
飞行器的总表面积为： 59600.57814654905 平方厘米
飞行器的总体积为： 461080.7965379064 立方厘米

因此，飞行器的表面积为59600.58平方厘米，体积为461080.80立方厘米。

第二个问题是已知飞行器的部分结构参数，请估算其舱体结构的表面积和体积。

假设飞行器的外形为一个圆锥体，其顶点在坐标原点，底面半径为R₂，高度为h。由于已知R₁=100 cm,R₂=90 cm,R₃=24 cm，可以得到以下方程组：

$\begin{cases} R₂^2 + h^2 = R₁^2 \\ R₃^2 + h^2 = R₂^2 \end{cases}$

解得：

$\begin{cases} h = \sqrt{R₁^2 - R₂^2} \\ R₃ = \sqrt{R₂^2 - h^2} \end{cases}$

代入已知值可得：

$\begin{cases} h = \sqrt{100^2 - 90^2} = 60 \ cm\\ R₃ = \sqrt{90^2 - 60^2} = 72 \ cm \end{cases}$

因此，飞行器的表面积为：

$\pi R₂ \sqrt{R₁^2 + h^2} + \pi R₃ \sqrt{R₂^2 + h^2} = 20774.9 \ cm^2$

飞行器的体积为：

$\frac{1}{3} \pi R₂^2 h = 15287.2 \ cm^3$

根据图中的比例尺，可以得到圆柱体的高度为：

$\frac{R_1 - R_3}{R_2 - R_3} \times R_2 = \frac{100-24}{90-24} \times 90 = 72 cm$

因此，圆柱体的表面积为：

$2\pi R_1 h = 2\pi \times 100 \times 72 = 14400 \pi \approx 45239.3421 cm^2$

圆柱体的体积为：

$\pi R_1^2 h = \pi \times 100^2 \times 72 = 720000 \pi \approx 2261945.97 cm^3$

而圆锥体的表面积可以通过以下公式计算：

$\pi R_1 \sqrt{R_1^2 + h^2} + \pi R_3 \sqrt{R_3^2 + h^2} + \pi(R_1 + R_3) \sqrt{(R_1 - R_3)^2 + h^2}$

其中， $h$ 为圆锥体的高度，可以通过以下公式计算：

$\sqrt{R_2^2 - R_3^2} = \sqrt{90^2 - 24^2} = 84 cm$

因此，圆锥体的表面积为：

$\pi \times 100 \times \sqrt{100^2 + 84^2} + \pi \times 24 \times \sqrt{24^2 + 84^2} + \pi \times (100 + 24) \times \sqrt{(100-24)^2 + 84^2} \approx 54560.74 cm^2$

圆锥体的体积可以通过以下公式计算：

$\frac{\pi R_1^2 h}{3} = \frac{\pi \times 100^2 \times 84}{3} \approx 280849.4 cm^3$

综上所述，圆柱体的表面积和体积分别为45239.3421 $cm^2$ 和2261945.97 $cm^3$ ，圆锥体的表面积和体积分别为54560.74 $cm^2$ 和280849.4 $cm^3$ 。可以发现，圆锥体的表面积和体积均比圆柱体大，这是因为圆锥体的形状更加流线型，能够减少阻力。因此，在设计飞行器的外形时，应该选择圆锥体作为舱体的形状，以减少阻力。

根据图中的比例尺，可知飞行器的舱体直径为200 cm，高度为144 cm。因此，其表面积可由下式计算得出：

$S=2\pi R^2+2\pi RH=2\pi(100^2+100 \times 72)\approx 76,800 cm^2$

飞行器的体积可由下式计算得出：

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi(100)^3\approx 4,190,000 cm^3$

已知R₁=100 cm, R₂=90 cm, R₃=24 cm
由图可知，飞行器的舱体结构为一个半圆柱体和两个半球体组成
半圆柱体的表面积为：2πR₁l，其中l为半圆柱体的长度，由图可知l=2R₃
半球体的表面积为：2πR₂²
因此，舱体结构的表面积为：2πR₁(2R₃)+2πR₂²=400π+16200π=16600π cm²
半圆柱体的体积为：πR₁²l=40000π cm³
半球体的体积为：(4/3)πR₂³=216000π/3 cm³
因此，舱体结构的体积为：40000π+216000π/3=144000π cm³
总结，舱体结构的表面积为16600π cm²，体积为144000π cm³。

问题3

设计出飞行器的最佳外形，使得所受阻力最小，并给出表1中某飞行器结构参数的最优值。

首先，根据题目给出的参数范围，建立飞行器的结构参数模型：

骨架结构设计变量：Ci6、l1、l3、l4、l5；
舱体结构设计变量：R1、R2、R3、t5、t6、t7、Gc。

其次，根据题目中给出的固定数值，建立飞行器的结构模型：

固定参数：l6、机翼半展长、机身半展长、L2、d1、d2、d4。
逻辑值参数：C6。

然后，根据题目中给出的优化目标，建立飞行器的优化模型：

推导出飞行器受阻力的数学表达式，作为优化目标函数；
建立约束条件，包括结构参数范围约束、固定参数约束、逻辑值约束。

最后，使用数学求解方法，求解优化模型，得到飞行器的最佳外形和对应的结构参数值。

首先，根据题目中给出的参数范围，可以得出以下结论：

骨架结构设计变量中，Ci6的取值对飞行器的外形影响最大，其取值越大，飞行器的外形越复杂。
舱体结构设计变量中，R1、R2、R3的取值对飞行器的表面积和体积影响最大，其取值越大，飞行器的表面积和体积也会相应增大。
舱体结构设计变量中，t5、t6、t7、Gc的取值对飞行器的表面积和体积影响较小，但是它们的取值也会对飞行器的外形造成一定的影响。

根据以上结论，可以得出以下设计思路：

首先，我们需要确定Ci6的取值范围，以平衡飞行器外形的复杂程度和所受阻力的大小。可以通过试错法和数值优化方法，逐步调整Ci6的取值，直至得到最优解。
其次，确定R1、R2、R3的取值范围，以满足飞行器的结构强度和外形的紧凑性。可以通过结构强度分析和几何优化方法，得出最佳的取值范围。
最后，确定t5、t6、t7、Gc的取值范围，以平衡飞行器表面积和体积的大小。可以通过试错法和数值优化方法，逐步调整这些变量的取值，直至得到最优解。

根据以上设计思路，可以建立数学模型如下：

骨架结构设计变量：
$\begin{align*} Ci6 &= \{0,1\} \\ l1 &= min(270,290) \\ l3 &= min(0.1,0.35) \\ l4 &= min(0.45,0.55) \\ l5 &= min(0.65,0.9) \end{align*}$
其中，Ci6为二值变量，表示机翼是否布置翼肋；l1、l3、l4、l5为实数变量，表示骨架结构的长度比例。
舱体结构设计变量：
$\begin{align*} R1 &= [65,90] \\ R2 &= [75,100] \\ R3 &= [20,30] \\ t5 &= [8,15] \\ t6 &= [8,15] \\ t7 &= [8,15] \\ Gc &= [350,450] \end{align*}$
其中，R1、R2、R3为实数变量，表示舱体结构的半径；t5、t6、t7为实数变量，表示舱体结构的壁厚；Gc为实数变量，表示舱体结构的长度。
目标函数：
$\quad Res$
其中，Res为所受阻力。

综上所述，可以得出如下优化问题：
$\begin{align*} min \quad Res \\ s.t. \quad l1 &= min(270,290) \\ l3 &= min(0.1,0.35) \\ l4 &= min(0.45,0.55) \\ l5 &= min(0.65,0.9) \\ R1 &= [65,90] \\ R2 &= [75,100] \\ R3 &= [20,30] \\ t5 &= [8,15] \\ t6 &= [8,15] \\ t7 &= [8,15] \\ Gc &= [350,450] \\ \end{align*}$

最后，可以通过数值优化方法，如遗传算法、粒子群算法等，求解上述优化问题，得到最佳的飞行器外形和结构参数。其中，最佳的Ci6的取值可以表示为最优的翼肋布置情况，最佳的R1、R2、R3的取值可以表示为最优的舱体结构半径，最佳的t5、t6、t7的取值可以表示为最优的舱体结构壁厚，最佳的Gc的取值可以表示为最优的舱体结构长度。

为了设计出飞行器的最佳外形，使得所受阻力最小，可以通过优化飞行器的外形参数来达到目的。根据前文提到的飞行器的外形可以分为航空器和航天器，因此我们可以将问题3中的飞行器分为两个部分来考虑，即航空器和航天器的外形优化。

首先，我们来考虑航空器的外形优化。根据题目中给出的参数，可以将飞行器的外形简化为一个圆锥体，圆锥体的表面积和体积可以表示为：

表面积 $S = π (R_{1} + R_{2}) \sqrt (R_{1} - R_{2})^{2} + H^{2} + H (R_{1} + R_{2})$

体积 $V = π H /3 (R_{1}^{2} + R_{1} R_{2} + R_{2}^{2})$

其中， $H$ 为圆锥体的高度， $R_{1}$ 和 $R_{2}$ 分别为圆锥体的上底和下底半径。

根据题目中的条件，我们可以将 $H$ 表示为 $H = R_{1} + R_{2} + R_{3}$ ，即圆锥体的高度等于上底半径、下底半径和圆锥体的半径之和。

此外，题目中还给出了固定参数 $l_{2}$ 和 $d_{1}$ ，因此我们可以将上式进一步简化为：

表面积 $S = π (R_{1} + R_{2}) \sqrt (R_{1} - R_{2})^{2} + (R_{1} + R_{2} + R_{3})^{2} + (R_{1} + R_{2}) (R_{1} + R_{2} + R_{3})$

体积 $V = π (R_{1} + R_{2} + R_{3}) /3 (R_{1}^{2} + R_{1} R_{2} + R_{2}^{2})$

然后，我们可以将上式中的参数 $R_{1}$ 、 $R_{2}$ 和 $R_{3}$ 表示为优化变量，即我们需要通过优化这三个变量来使得表面积和体积最小，从而达到阻力最小的效果。

根据题目中给出的参数范围，我们可以将 $R_{1}$ 、 $R_{2}$ 和 $R_{3}$ 的取值范围分别表示为：

$R_{1} \in [65, 90]$ ， $R_{2} \in [75, 100]$ ， $R_{3} \in [20, 30]$

因此，我们可以将问题3中的优化问题表示为：

最小化 $S = π (R_{1} + R_{2}) \sqrt (R_{1} - R_{2})^{2} + (R_{1} + R_{2} + R_{3})^{2} + (R_{1} + R_{2}) (R_{1} + R_{2} + R_{3})$ 以及 $V = π (R_{1} + R_{2} + R_{3}) /3 (R_{1}^{2} + R_{1} R_{2} + R_{2}^{2})$

其中， $R_{1}$ 、 $R_{2}$ 和 $R_{3}$ 为优化变量，且满足 $R_{1} \in [65, 90]$ ， $R_{2} \in [75, 100]$ ， $R_{3} \in [20, 30]$ 。

然后，我们可以通过数学建模的方法来求解上述优化问题，例如可以采用梯度下降算法等方法来求解最优解，得到最小表面积和体积的取值，并将其代入到原模型中，从而得到飞行器的最佳外形。

接着，我们来考虑航天器的外形优化。根据题目中给出的参数，航天器的外形可以简化为一个圆锥体和一个圆柱体的组合，圆锥体用来表示航天器的头部，圆柱体用来表示航天器的机身。

同样地，我们可以将圆锥体的表面积和体积表示为：

表面积 $S_{1} = π (R_{1} + R_{2}) \sqrt (R_{1} - R_{2})^{2} + H_{1}^{2} + H_{1} (R_{1} + R_{2})$

体积 $V_{1} = π H_{1} /3 (R_{1}^{2} + R_{1} R_{2} + R_{2}^{2})$

其中， $H_{1}$ 为圆锥体的高度， $R_{1}$ 和 $R_{2}$ 分别为圆锥体的上底和下底半径。

圆柱体的表面积和体积可以表示为：

表面积 $S_{2} = 2 π R_{3} (R_{1} + R_{2} + H_{2})$

体积 $V_{2} = π R_{3}^{2} H_{2}$

其中， $H_{2}$ 为圆柱体的高度， $R_{3}$ 为圆柱体的半径。

同样地，我们可以将圆锥体和圆柱体的高度表示为：

$H_{1} = R_{1} + R_{2} + R_{3}$ ， $H_{2} = R_{1} + R_{2} + R_{3}$

此外，题目中还给出了固定参数 $l_{2}$ 和 $d_{1}$ ，因此我们可以将上述表面积和体积进一步简化为：

表面积 $S = π (R_{1} + R_{2}) \sqrt (R_{1} - R_{2})^{2} + (R_{1} + R_{2} + R_{3})^{2} + (R_{1} + R_{2}) (R_{1} + R_{2} + R_{3}) + 2 π R_{3} (R_{1} + R_{2} + R_{3})$

体积 $V = π (R_{1} + R_{2} + R_{3}) /3 (R_{1}^{2} + R_{1} R_{2} + R_{2}^{2}) + π R_{3}^{2} (R_{1} + R_{2} + R_{3})$

然后，同样地我们可以将上述表面积和体积中的 $R_{1}$ 、 $R_{2}$ 和 $R_{3}$ 表示为优化变量，并代入到原模型中，从而得到航天器的最佳外形。

综上所述，通过优化飞行器的外形参数来达到阻力最小的效果，可以将问题3中的优化问题表示为：

最小化 $S = π (R_{1} + R_{2}) \sqrt (R_{1} - R_{2})^{2} + (R_{1} + R_{2} + R_{3})^{2} + (R_{1} + R_{2}) (R_{1} + R_{2} + R_{3}) + 2 π R_{3} (R_{1} + R_{2} + R_{3})$ 以及 $V = π (R_{1} + R_{2} + R_{3}) /3 (R_{1}^{2} + R_{1} R_{2} + R_{2}^{2}) + π R_{3}^{2} (R_{1} + R_{2} + R_{3})$

其中， $R_{1}$ 、 $R_{2}$ 和 $R_{3}$ 为优化变量，且满足 $R_{1} \in [65, 90]$ ， $R_{2} \in [75, 100]$ ， $R_{3} \in [20, 30]$ 。

最后，我们可以通过数学建模的方法来求解上述优化问题，从而得到最小表面积和体积的取值，并将其代入到原模型中，从而得到飞行器的最佳外形。

定义目标函数
根据题目给出的目标，可以定义目标函数为所受阻力最小，即：

$min f (x) = D$

其中，x为飞行器结构参数，D为所受阻力。

确定约束条件
根据题目给出的设计变量类型和参数的取值范围，可以确定约束条件如下：

设定变量类型：Ci₆为离散变量，其余变量为连续变量。
设计变量范围：l₁∈[270, 290]，l₃∈[0.1, 0.35]，l₄∈[0.45, 0.55]，l₅∈[0.65, 0.9]，R₁∈[65, 90]，R₂∈[75, 100]，R₃∈[20, 30]，t₅∈[8, 15]，t₆∈[8, 15]，t₇∈[8, 15]，Gc∈[350, 450]。

构建数学模型
根据题目给出的参数，可以得到飞行器的外形如下图所示：

$\large S = \pi R_1^2 + \pi R_2^2 + \sqrt{(R_1-R_2)^2 + H^2} \times \pi R_1 + \pi R_3^2 + H \times \pi (R_1 + R_3)$

其中，R₁为圆锥体底面半径，R₂为顶部圆锥体底面半径，R₃为顶部圆锥体顶面半径，H为圆锥体高度。

问题4是重新求解问题3中飞行器的最佳外形问题，并给出飞行器对应的结构参数，考虑四种不同圆锥曲线作为飞行器的外形。

假设飞行器的外形为四种不同圆锥曲线的一部分，具体为:

圆形: $x^2 + y^2 = r^2$

椭圆: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

抛物线: $y = ax^2 + bx + c$

双曲线: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

其中， $r$ 为圆形的半径， $a$ 和 $b$ 分别为椭圆和双曲线的长半轴和短半轴， $a$ 和 $c$ 为抛物线的系数。

根据问题3给出的参数范围和约束条件，可以建立如下数学模型：