子群
定义1：(G,o)是一个群，H是G的非空子集，若H关于G的乘法o也能作成群（满足群的判定定理：封闭性、结合律、单位元、逆元），则称H为G的子群，记作H ≤ G；若H是G的真子集，即H⊊G，那么也称H是G的真子群，记作H＜G。
设(G,o)是一个群，e是G中的单位元，则{e} ≤ G，G ≤ G，即由单位元自身构成的集合、以及G本身都是G的子群，这两个子群称为G的“平凡子群”。
例1：证明，
（1）(Z,+) ≤ (Q,+) ≤ (R,+) ≤ (C,+)；
（2）(Q*,×) ≤ (R*,×) ≤ (C*,×)（*表示“非零”）。
证：只证（1）中的(Z,+) ≤ (Q,+)，其它证法类似：
整数都是有理数，所以Z⊆Q；下面证明Z关于整数加法+作成群：
①任意a,b∈Z，a+b∈Z，且整数的加法运算适合结合律，所以满足了群公理的第一第二条；
②对于0∈Z以及任意a∈Z，都有0+a = a，所以0是(Z,+)中的单位元，因此满足了群公理的第四条；
③对任意的a∈Z，存在-a∈Z，满足a+(-a) = 0，即a与-a互为逆元，因此也满足了群公理的第五条，
因此，由群的第二判定定理，Z关于+作成群，
综上所述，根据子群的定义，可知(Z,+) ≤ (Q,+)。
定理1（子群的第一判定定理）：
若(G,o)是一个群，H是G的非空子集，则H ≤ G当且仅当：
（1）对任意a,b∈H，(a o b)∈H；
（2）由a∈H，可推出a的逆元a^(-1)∈H。
证：必要性：由子群的定义知必要性是显然的，即若H ≤ G，则H关于o肯定满足群公理的第一条（封闭性）和第五条（存在逆元），因此肯定满足（1）和（2）；
充分性：若（1）和（2）成立，下证H ≤ G：
首先，（1）表明群公理第一条封闭性成立；其次，而H是G的子集，因此由G中元素适合结合律（G是一个群，肯定要适合结合律）可推出H中元素也适合结合律，所以也满足了群公理第二条；
再者，根据（2），由a∈H可推出a^(-1)∈H，而因为a,a^(-1)∈H，所以根据（1），[a o a^(-1)]∈H，
且H是G的子集，所以a,a^(-1)∈G，而(G,o)又是一个群，所以a o a^(-1) = e，
所以a o a^(-1) = e∈H，即H中存在单位元，且a,a^(-1)互为逆元，所以也满足了群公理的第四、第五条，
因此，根据群的第二判定定理，H关于o作成群，
综上所述，H ≤ G。
推论：设H ≤ G，则
①子群H中的单位元e(H)和群G中的单位元e(G)一样，即
；
②对任意a∈H，a在H中的逆元a(H)^(-1)和a在G中的逆元a(G)^(-1)一样，即
。
定理2（子群的第二判定定理）：
若(G,o)是一个群，H是G的非空子集，则H ≤ G <=> 对任意的a,b∈H，有[a o b^(-1)]∈H。
证：必要性：根据子群第一判定定理中的（2），若H ≤ G，则对任意的a,b∈H，有b^(-1)∈H；有因为a,b^(-1)∈H，所以根据子群第一判定定理中的（1），有a o b^(-1)∈H。
充分性：若对任意的a,b∈H，有[a o b^(-1)]∈H，则：
①当a = b时，a o a^(-1) = e∈H；
②当a = e,b = a时，有e o a^(-1) = a^(-1)∈H，这证明了子群第一判定定理中的（2）；
③对任意的a,b∈H，由②知b^(-1)∈H，从而a o b = a o [b^(-1)]^(-1)∈H，这证明了子群第一判定定理中的（1），
所以根据子群的第一判定定理，可得H ≤ G。
（待续……）
