强连通分量
强连通定义
有向图 G G G 的强连通是指 G G G 中任意两个节点都可以直接或间接到达。
下方两幅图都是强连通。一个特殊一点，任意两点都可以直接到达；一个则是最常见的强连通图。
- 特殊强连通图，任意两点都可以直接到达
- 常见的强连通图，即一个环
强连通分量
强连通分量，简称 S C C SCC SCC，是在一个有向图中最大的强连通子图。
- 图中加粗的点组成的子图即为此图的强连通分量
dfs 生成树的边
dfs 遍历过程就不多说了，这是图论基本能力。
dfs 深搜后，会出现四种不同情况的边，如下：
- 树边：由 dfs 自然搜索到的边，组成一棵树（不一定是最小/大生成树）。
- 返祖边（回边）：由一个节点指向前面已经遍历过的祖先节点的边。
- 横叉边：指向了一个访问过但不是当前节点的祖先的边。
- 前向边：指向了目前未遍历到的节点，但以后会遍历到的节点的边。
例如，下图即为一张图 G G G。
不难看出，dfs 生成树长这样：
对比一下，如下：
黑边为树边，是正常深搜而来的。
红边即为返祖边，因为它指向了当前节点 7 7 7 的祖先。
蓝边即为横叉边，因为它指向了当前生成树的另一个节点，但不是当前节点 9 9 9 的祖先。
绿边即为前向边，指向了还未加入生成树的节点。
Tarjan 算法
Tarjan 算法是用来求解 S C C SCC SCC 的著名算法，可以在线性时间复杂度完成统计 S C C SCC SCC 的任务。
思路
若节点 u u u 是 S C C SCC SCC 在搜索树中访问到的第一个节点，那么 S C C SCC SCC 就肯定是一个以 u u u 为根节点的子树，我们称 u u u 为这个 S C C SCC SCC 的根。
Tarjan 算法基本思路为把每个 S C C SCC SCC 都看作搜索树的一个子树，将其节点一个个保存。
对于两个节点 u u u 和 v v v，若 u u u 是 v v v 的祖先，且 v v v 有一条返祖边能指向 u u u，则 u u u 和 v v v 形成了环，属于一个 S C C SCC SCC。从 u u u 到 v v v 一路上遇到的所有点也属于这一 S C C SCC SCC 中的点，边也为 S C C SCC SCC 中边。
步骤
每次遍历到一个节点 u u u，需要统计一下信息：
dfn[u]，即 u u u 的时间戳（第几个被访问到的）。low[u]， u u u 属于的那个 S C C SCC SCC 中dfn最小的时间戳。
初始化时，dfn[u]=low[u]=++tot，tot 为时间戳。
既然 dfs 是一种递归的算法，不妨用栈来存节点信息。
每次搜到一个节点都将其入栈，有出度则沿着出度遍历。
上文说到，dfs 搜索会搜到 4 4 4 种边，那么我们该如何解决 4 4 4 种边呢？
- 树边：正常搜
- 返祖边：更新当前的
low值 - 横叉边：无视，没用
- 前向边：无视，没用
每次搜完子树都需要更新
u
u
u 的 low 值，若 low[u]==dfn[u]，则
u
u
u 为这个
S
C
C
SCC
SCC 的根节点，因为没有比他时间戳更小的了（回溯完之后）。
例题：福州一中OJ P2110 求有向图的强连通分量
AC Code:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=2e5+5,MAXM=8e5+5;
struct EDGE{
int to,pre;
}edge[MAXM<<1];
int head[MAXN],cnt_edge,tot,t;
int n,m,op;
//链式前向星存图
void add(int from,int to)
{
edge[++cnt_edge].to=to;
edge[cnt_edge].pre=head[from];
head[from]=cnt_edge;
return;
}
int dfn[MAXN],low[MAXN];
stack<int> st;
bool vis[MAXN];
int cnt_ans,cnt_t,maxn;
void dfs(int u)//目标是统计maxn
{
dfn[u]=low[u]=++tot;//时间戳和子树最小时间戳
st.push(u);
vis[u]=true;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].pre)
{
if(!dfn[edge[i].to])
{
dfs(edge[i].to);
low[u]=min(low[u],low[edge[i].to]);//更新
}
else
if(vis[edge[i].to])//返祖边，注意是vis，不是dfn(有可能是横叉边)
low[u]=min(low[u],dfn[edge[i].to]);
}
if(low[u]==dfn[u])//是SCC的根节点
{
cnt_t=0;//统计SCC节点个数
do{//记得是先做在判断
vis[t=st.top()]=false;//比u后入栈的都是SCC的子节点
st.pop();
cnt_t++;
}while(u!=t);
maxn=max(maxn,cnt_t);
}
return;
}
void dfs2(int u)//与dfs大同小异，目标是计算有多少个强连通子图
{
dfn[u]=low[u]=++tot;
st.push(u);
vis[u]=true;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].pre)
{
if(!dfn[edge[i].to])
{
dfs2(edge[i].to);
low[u]=min(low[u],low[edge[i].to]);
}
else
if(vis[edge[i].to])
low[u]=min(low[u],dfn[edge[i].to]);
}
if(low[u]==dfn[u])
{
cnt_t=0;
do{
vis[t=st.top()]=false;
st.pop();
cnt_t++;
}while(u!=t);
if(cnt_t==maxn)
cnt_ans++;
}
return;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&op);
while(op--)
{
scanf("%d",&t);
add(i,t);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i])
dfs(i);
//初始化
while(!st.empty())
st.pop();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
dfn[i]=0;
low[i]=0;
vis[i]=false;
}
//初始化
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i])
dfs2(i);
printf("%d %d\n",maxn,cnt_ans);
return 0;
}
