拓扑排序
拓扑排序要解决的问题是给一个有向无环图的所有节点排序。
即在
A
O
E
AOE
AOE网中找关键路径。
前置芝士！
- 有向图：有向图中的每一个边都是
有向边，即其中的每一个元素都是有序二元组。在一条有向边 ( u , v ) (u,v) (u,v)中，称 u u u是 v v v的直接前驱， v v v是 u u u的直接后继。- 有向无环图 ( D i r e c t e d A c y c l i c G r a p h ) (Directed\ Acyclic\ Graph) (Directed Acyclic Graph)：没有
有向环，但不保证原图变成无向图时无环。
- D A G DAG DAG的性质：能拓扑的图一定是 D A G DAG DAG， D A G DAG DAG一定能拓扑。( A O E 和 A O V AOE和AOV AOE和AOV网都是 D A G DAG DAG)
- 度：顶点 v v v的度数是与 v v v关联的边数。有向图中没有度的概念。
- 入度、出度：入度是指以该顶点为
终点的有向边数量；顶点的出度是指以顶点为起点的有向边数量。无向图中没有出入度的概念。
举个例子！
我们可以拿大学排课的例子来描述这个过程，比如学习大学课程中有：程序设计，算法语言，高等数学，离散数学，编译技术，数据结构，数据库系统等。当我们想要学习
数据结构的时候，就必须先学会离散数学、编译技术和算法语言。这些课程就相当于几个顶点 u u u, 顶点之间的有向边 ( u , v ) (u,v) (u,v)就相当于学习课程的顺序。教务处安排这些课程，使得在逻辑关系符合的情况下排出课表，就是拓扑排序的过程。
但是如果某一天排课的老师打瞌睡了，说想要学习
数据结构，还得先学操作系统，而操作系统的前置课程又是数据结构，那么到底应该先学哪一个（不考虑同时学习的情况）？在这里数据结构和操作系统间就出现了一个环，显然你现在没办法弄清楚你需要先学什么了，于是你也没办法进行拓扑排序了。
拓扑排序即，在一个 D A G DAG DAG（有向无环图）中，我们将图中的顶点以线性方式进行排序，使得对于任何的顶点u到v的有向边 ( u , v ) (u,v) (u,v), 都可以有 u u u在 v v v的前面。
严谨来说，给定一个
D
A
G
DAG
DAG，如果从
i
i
i到
j
j
j有边，则认为
j
j
j依赖于
i
i
i。如果
i
i
i到
j
j
j有路径（
i
i
i可达
j
j
j ），则称
j
j
j间接依赖于
i
i
i。拓扑排序的目标是将所有节点排序，使得排在前面的节点不能依赖于排在后面的节点。
理论存在！
- 从图中选择一个
入度为零的点。- 记录该顶点，从图中删除此顶点及其所有的出边。
重复上面两步，直到所有顶点都输出，拓扑排序完成，此时我们可以得到一个点的出队顺序（遍历顺序）这个序列叫
拓扑序；或者图中不存在入度为零的点，此时说明图是有环图，拓扑排序无法完成。拓扑排序需要遍历整张图，假设该图为 G ( V , E ) G(V,E) G(V,E)，获得拓扑序的时间复杂度大约是
O（V+E）。
实践开始！
void topu_sort() { queue<int>q; for (int i = 1; i <= n; ++i) { if (!d[i])q.push(i); } while (!q.empty()) { int now = q.front(); q.pop(); ans.push_back(now); int len = vec[now].size(); for (int i = 0; i < len; ++i) { int to = vec[now][i]; d[to]--; if (!d[to]) q.push(to); } } /* for(auto x:vec[now]){ d[x]--; if(!d[x]) q.push(x); } */ }
例题
拓扑模板：B3644 【模板】拓扑排序 / 家谱树 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
AC代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 150;
int n;
vector<int> e[N];
int d[N];
vector<int> ans;
void topu() {
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (d[i] == 0) q.push(i);
}
while (!q.empty()) {
int now = q.front();q.pop();
ans.push_back(now);
for (auto x: e[now]) {
d[x]--;
if (d[x] == 0) q.push(x);
}
}
}
int main() {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
int x;
while (cin >> x) {
if (x == 0) break;
d[x]++;
e[i].push_back(x);
}
}
topu();
for (auto x: ans) {
cout << x << " ";
}
cout << '\n';
return 0;
}
提高
拓扑构造：Problem - E - Codeforces
解析：
先忽略所有输入的无向边（但是不忽略点），对当前的有向图拓扑排序，如果给定的有向图中已经不是 D A G DAG DAG显然是一定不成立也无法构造的；如果当前的图是 D A G DAG DAG，那么拓扑完我们可以得到一个或多个拓扑序，每个拓扑序都是
线性的，这也代表当选定一个拓扑序，在所有点中任选两个点，他们一定有已知确定先后顺序，我们按照这样的顺序去构造，建边（每次令拓扑序靠前的指向靠后的）即可保证不会出现拓扑序靠前的点依赖于靠后的点，则不会出现有向环。AC代码：
pii ans[N]; vector<int>e[N]; int d[N]; int n,m,order=0; int ord[N]; bool topu(){ queue<int>q; for(int i=1;i<=n;++i){ if(!d[i]){ q.push(i); } } while(!q.empty()){ int t=q.front();q.pop(); ord[t]=++order; for(auto x:e[t]){ d[x]--; if(!d[x])q.push(x); } } if(order!=n)return 0; return 1; } void work() { cin>>n>>m; int tot=0; order=0; for(int i=1;i<=n;++i){ d[i]=0;e[i].clear(); ans[i].fi=ans[i].se=0; } for(int i=1;i<=m;++i){ int z,u,v;cin>>z>>u>>v; if(z){ e[u].pb(v); d[v]++; }else{ ans[++tot].fi=u; ans[tot].se=v; } } if(!topu()){ cout<<"No\n";return; } cout<<"Yes\n"; for(int i=1;i<=tot;++i){ if(ord[ans[i].fi]>ord[ans[i].se])swap(ans[i].se,ans[i].fi); cout<<ans[i].fi<<" "<<ans[i].se<<'\n'; } for(int i=1;i<=n;++i){ if(e[i].size()){ for(auto x:e[i]){ cout<<i<<" "<<x<<'\n'; } } } }课后练习：P1347 排序 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
总结：
拓扑排序是图论中非常基础的算法，大多时候作为工具，或者一些进阶算法的预处理内容，非常简单，同时需要熟练掌握。
