目录
编辑
树的定义
概念
树的定义
二叉树的概念
满二叉树
概念
完全二叉树
概念
二叉树的性质
二叉树的遍历
先序遍历
中序遍历
后序遍历
层序遍历
树的定义
概念
树是一种非线性的数据结构
树的定义
- 子树是不相交的
- 除了根节点外，每个节点有且仅有一个父节点
- 一颗N个节点的树有N+1条边
二叉树的概念
- 二叉树的每个节点要么有0个孩子，要么有1个孩子，要么有2个孩子,也就是说 二叉树的节点数量为X （0 <= x <= 2）
- 一棵树如果是二叉树，那么它的每一颗子树都为二叉树（如果存在不是二叉树的情况则整棵树便不是二叉树）
- 二叉树的子树有左（left）右（right）之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树（此处提到的有序不是代表节点中值的大小有序，仅仅是有左右顺序之分）
上述的描述可能还是不够形象的 下图为手绘的二叉树图 大概参考一下
满二叉树
概念
一个二叉树 如果每一层的结点数都达到最大 则这个二叉树就是满二叉树 也就是说 如果一颗二叉树的层数为K 且结点总数是2^K-1 则它就是满二叉树，次数计算结点个数也可以看做应等比数列
光看上述的概念还是比较抽象的 我们来简单的上几张图
上图不是一个满二叉树 因为没有达到层数节点的最大值
上述图为满二叉树 因为每层节点数量都达到了最大值
上述图不是满二叉树 还是因为每层节点数量没有达到最大值
总结：其实分辨一棵树是否为满二叉树很简单 只要看每层节点都存在即可分辨
完全二叉树
概念
完全二叉树是由满二叉树而引出来的，若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数(即1~h-1层为一个满二叉树)，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。因为完全二叉树是由满二叉树引出来的，所以满二叉树也是完全二叉树的一种
那么什么是完全二叉树的形呢？我们还是以图来认识一下
上图不是一颗完全二叉树 因为二叉树的排列是左子树 右子树 如果有一颗右子树不存在 那么后面再没有任何节点（认真悟）
上图是一颗完全二叉树 满足完全二叉树的所有性质
上图也是一颗完全二叉树 当然 也是一颗满二叉树 我们在概念中提到的 因为完全二叉树是满二叉树引出的 所以满二叉树也是属于完全二叉树
二叉树的性质
其中 第三条性质是最有趣的 我们来分析一下第三条性质
对于任何一颗二叉树来说 度为0的节点永远都比度为2的节点多一个
推导公式如下：
假设二叉树有N个节点 那么一颗二叉树 要么是N0 要么是N1 要么是N2（N0代表度为0的节点个数，N1、N2同理）
所以说 我们可以得到N=N0+N1+N2 （1）
我们还需要借助一条性质 ：一颗有N个节点的树 应该有N+1条边
所以说边的总数：
度为0的节点 能够产生多少条边？ 0条
度为1的节点 能够产生多少条边？1*N1 条
度为2的节点 能够产生多少条边？2*N2 条
所以说 我们可以得到公式：
N - 1 = 0 + N1 + N2 + N2（2）
N - 1 = N1 + N2 + N2
然后我们套入公式（1）
N0 + N1 + N2 - 1 = N1 + N2 + N2
连边互相抵消
N0 - 1 = N2
N0 = N2 + 1
推导完毕
偶数个节点的树有度数为1的节点
奇数个节点的树没有度数为1的节点
二叉树的存储：顺序存储和链式存储
二叉树的题 天生就是用递归来写的（慢慢体会）
二叉树的遍历
先序遍历
力扣原题链接：力扣
二叉树的先序遍历的遍历方式为 根->左子树->右子树
当然理解起来是比较抽象的 我们还是上图
所以 根据以上思路 我们写出以下代码即可先序遍历二叉树
public static void preorderTraversal(TreeNode root){
if(root==null){
return ;
}
System.out.print(root.val+" ");
preorderTraversal(root.left);
preorderTraversal(root.right);
}力扣题解题
因为力扣题最终要将数据保存到一个链表中 我们需要稍微的变更一下思路 提供三种解题思路
1.子函数方式
public void _preorderTraversal(TreeNode root,List<Integer> ret){ if(root==null){ return ; } ret.add(root.val); _preorderTraversal(root.left,ret); _preorderTraversal(root.right,ret); } public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) { List<Integer> list=new ArrayList<>(); _preorderTraversal(root,list); return list; }2. 根据前序遍历优化思路版
public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) { List<Integer> list = new ArrayList<>(); if(null==root){ return list; } list.add(root.val); List<Integer> lefttree=preorderTraversal(root.left); list.addAll(lefttree); List<Integer> righttree=preorderTraversal(root.right); list.addAll(righttree); return list; }3.非递归版
public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) { List<Integer> list=new ArrayList<>(); Stack<TreeNode> stack=new Stack<>(); TreeNode cur=root; while(cur!=null||!stack.isEmpty()){ while(cur!=null){ list.add(cur.val); stack.push(cur); cur=cur.left; } cur=stack.pop().right; //cur=cur; } return list; }
中序遍历
力扣原题链接：力扣
二叉树的中序遍历的遍历方式为：左子树-> 根 ->右子树
代码实现：
public static void inorderTraversal(TreeNode root){
if(root==null){
return ;
}
inorderTraversal(root.left);
System.out.print(root.val+" ");
inorderTraversal(root.right);
}力扣题解
其实解法还是三种 但是因为跟之前思路是差不多的 所以只举例一种
public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) { List<Integer> list=new LinkedList<>(); Stack<TreeNode> stack=new Stack<>(); TreeNode cur=root; while(cur!=null||!stack.isEmpty()){ while(cur!=null){ stack.push(cur); cur=cur.left; } TreeNode top=stack.pop(); list.add(top.val); cur=top.right; } return list; }
后序遍历
力扣原题链接：力扣
二叉树的后序遍历顺序为：左子树->右子树->根
代码实现：
public static void postorderTraversal(TreeNode root){
if(root==null){
return ;
}
postorderTraversal(root.left);
postorderTraversal(root.right);
System.out.print(root.val+" ");
}力扣题解：
因为后序遍历的非递归遍历难度较大 所以此处放非递归代码
public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) { List<Integer> list=new LinkedList<>(); Stack<TreeNode> stack=new Stack<>(); TreeNode cur=root; TreeNode prev=null; while(cur!=null||!stack.isEmpty()){ while(cur!=null){ stack.push(cur); cur=cur.left; } TreeNode top=stack.peek(); if(top.right==null||top.right==prev){ list.add(top.val); prev=top; stack.pop(); }else{ cur=top.right; } } return list; }
层序遍历
力扣原题链接力扣
层序遍历就是一层一层遍历 例如这个图 层序遍历结果为ABCDEFG
力扣题解：
我们如果要进行层序遍历的话需要借助到一个数据结构 为队列
1.我们将一个节点的左右子树（如果不为空）则放入队列
2.第二次遍历便继续将每个节点的左右子树放入队列
代码：
public List<List<Integer>> levelOrder(TreeNode root) {
List<List<Integer>> lists = new LinkedList<>();
if(root==null){
return lists;
}
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while(!queue.isEmpty()){
List<Integer> list = new LinkedList<>();
lists.add(list);
int size=queue.size();
while(size>0&&!queue.isEmpty()){
TreeNode cur=queue.poll();
list.add(cur.val);
if(cur.left!=null){
queue.offer(cur.left);
}
if(cur.right!=null){
queue.offer(cur.right);
}
size--;
}
}
return lists;
}其实对于二叉树的遍历是很简单的 先序遍历是根左右 中序遍历是左根右 后序遍历是左右根 你有没有发现 其实先中后都是针对与根的 并且也可以观察一下代码
先序遍历的代码是这样的
中序遍历是这样的
后序遍历是这样的
你发现了什么吗？
未完待续~
