【秋招刷题打卡】Day03-二分系列之-二分答案

Day03-二分系列之-二分答案

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⏰小屋将在每日上午发放打卡题目，包括：

一道该算法的模版题 (主要以力扣，牛客，acwing等其他OJ网站的题目作为模版)
一道该算法的应用题（主要以往期互联网大厂 笔试真题 的形式出现，评测在咱们的 笔试突围OJ）

在这里插入图片描述

小屋day03

咱们的二分系列用的都是 day02 的二分模版～

二分模版介绍：二分模版

有小伙伴可能会问了，既然系统有自带的二分库，为什么我们还要自己手写二分呢？清隆认为主要有以下两点：

在二分的其他应用中，手写二分更利于设置 check 条件和实现具体逻辑
加深对二分的理解和提高代码熟练度

今天给大家带来二分答案相关的题

前言

什么是二分答案？

说直白点其实就是先猜一个答案，然后通过check函数来检查这个答案 是否合法，继而跟新二分的左右端点。

能够二分答案的题需要题目满足具有一定的性质，如单调性、二段性等等。

🎀 模版题

2187. 完成旅途的最少时间

题目描述

给你一个数组 time ，其中 time[i] 表示第 i 辆公交车完成一趟旅途所需要花费的时间。

每辆公交车可以连续完成多趟旅途，也就是说，一辆公交车当前旅途完成后，可以 立马开始 下一趟旅途。每辆公交车独立运行，也就是说可以同时有多辆公交车在运行且互不影响。

给你一个整数 totalTrips ，表示所有公交车总共需要完成的旅途数目。请你返回完成至少 totalTrips 趟旅途需要花费的最少时间。

示例 1：

输入：time = [1,2,3], totalTrips = 5
输出：3
解释：
- 时刻 t = 1 ，每辆公交车完成的旅途数分别为 [1,0,0] 。
  已完成的总旅途数为 1 + 0 + 0 = 1 。
- 时刻 t = 2 ，每辆公交车完成的旅途数分别为 [2,1,0] 。
  已完成的总旅途数为 2 + 1 + 0 = 3 。
- 时刻 t = 3 ，每辆公交车完成的旅途数分别为 [3,1,1] 。
  已完成的总旅途数为 3 + 1 + 1 = 5 。
所以总共完成至少 5 趟旅途的最少时间为 3 。

示例 2：

输入：time = [2], totalTrips = 1
输出：2
解释：
只有一辆公交车，它将在时刻 t = 2 完成第一趟旅途。
所以完成 1 趟旅途的最少时间为 2 。

解题思路

时间越多，可以完成的旅途也就越多，有 单调性，可以二分答案。

在二分之前需要设置区间左右端。

左端点：答案的最小可能值
右端点：答案的最大可能值
当然实际运用中，左端点可以设置的更小点也没事，右端点同理

现在我们尝试来进行猜答案，假设当前答案为 X:

那么可以完成的旅途数量为： $\sum_{i=0}^{n - 1} \lfloor \frac{x}{time[i]} \rfloor$

如果比 totalTrips 大了，说明 X 还能继续缩小，那么跟新（左移）右端点，否则跟新（右移）左端点。

此时我们发现在 check 函数判断之后需要跟新的是右端点，所以使用 第一个二分模版

时间复杂度：O(nlog⁡U)，其中 n 为time 的长度，U 为二分设置的区间长度

参考代码

Python

class Solution:
    def minimumTime(self, time: List[int], totalTrips: int) -> int:
        l, r = 0, int(1e18) + 10 #  设置左右端点
        
        def check(x: int) -> bool:
            sum = 0
            for t in time:
                sum += x // t
                if sum >= totalTrips:
                    return True
            return False
        
        while l < r:
            mid = (l + r) // 2
            if check(mid):
                r = mid
            else:
                l = mid + 1
        
        return l

Java

import java.util.List;

class Solution {
    public long minimumTime(int[] time, int totalTrips) {
        long l = 0, r = (long)1e18 + 10; // 设置左右端点
        
        while (l < r) {
            long mid = l + (r - l) / 2;
            if (check(time, mid, totalTrips)) {
                r = mid;
            } else {
                l = mid + 1;
            }
        }
        return l;
    }

    private boolean check(int[] time, long x, int totalTrips) {
        long sum = 0;
        for (int t : time) {
            sum += x / t;
            if (sum >= totalTrips) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
}

Cpp

class Solution {
public:
    long long minimumTime(vector<int>& time, int totalTrips) {
        long long l = 0, r = 1e18 + 10; // 设置左右端点
        auto check = [&](long long x) -> bool{
            long long sum = 0;
            for(int t : time)
            {
                sum += x / t;
                if(sum >= totalTrips) return true;
            }
            return false;
        };
        while(l < r)
        {
            long long mid = l + r >> 1; 
            if(check(mid)) r = mid;
            else
                l = mid + 1;
        }
        return l;
    }
};

🍰 笔试真题

该题来自今年 华为春招 的笔试题，出现在笔试第一题。

K小姐的购物系统调度

评测链接🔗

问题描述

K小姐负责维护一个购物系统，该系统面临着来自多个客户端的请求。为了应对系统的性能瓶颈，需要实现一个降级策略，以防止系统超负荷。

系统需要确定一个请求调用量的最大阈值 $v a l u e$ 。如果所有客户端的请求总量未超过系统的最大承载量 $c n t$ ，则所有请求均可正常处理，此时返回 $- 1$ 。否则，超过 $v a l u e$ 的客户端调用量需要被限制在 $v a l u e$ ，而未超过 $v a l u e$ 的客户端可以正常请求。要求计算可以接受的最大 $v a l u e$ ，以便尽可能地满足更多的请求。

输入格式

第一行包含 $n$ 个空格分隔的正整数 $R_1, R_2, ..., R_n$ ，表示每个客户端在一定时间内发送的交易请求数量。

第二行包含一个正整数 $c n t$ ，表示购物系统的最大调用量。

输出格式

输出一个整数，表示系统能够接受的最大请求调用量的阈值 $v a l u e$ 。

样例输入

1 4 2 5 5 1 6
13

样例输出

解释说明

若将 $v a l u e$ 设置成 $6$ ， $1 + 4 + 2 + 5 + 5 + 1 + 6 > 13$ 不符合。

将 $v a l u e$ 设置为 $2$ ， $1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 = 12 < 13$ 符合。

可以证明 $v a l u e$ 最大为 $2$ 。

评测数据与规模

$\le 10^5$
$\le R_i \le 10^5$
$\le cnt \le 10^9$

题解

我们先来判断题目答案是否有 单调性

当阈值 $v a l u e$ 变小时，请求量会被限制会变多，总的请求量就会减小
当阈值 $v a l u e$ 变大时，请求量会被限制会变少，总的请求量就会变大.

所以 $v a l u e$ 最大，答案最大，因此答案具有 单调性

因此我们可以尝试猜一个答案 $x$

设置 $x$ 的左右边界，左边界可以设置为 $0$ ，右边界最大为 $max(R_i)$ ，其中 $0 < i < n$ 。
每次通过 $x$ ，对当前的请求量求和，并和 $c n t$ 做比较。
判断当前 $x$ 是否满足条件，如果满足，则尝试猜更大的 $x$ ，即跟新（右移）左端点
因为是右移左端点，所以这里采用二分的 第二个模版

时间复杂度: $O(n\log(n))$

AC代码

Java

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        
        // 读取所有输入的整数
        while (sc.hasNextInt()) {
            int x = sc.nextInt();
            list.add(x);
        }

        int[] nums = new int[list.size()];
        
        // 将List转为数组
        for (int i = 0; i < list.size(); i++) {
            nums[i] = list.get(i);
        }

        int left = 0;
        int maxv = Arrays.stream(nums).max().getAsInt(); // 找到数组中的最大值
        int right = maxv;

        // 二分查找最大值
        while (left < right) {
            int mid = (left + right + 1) / 2;
            if (check(nums, mid)) {
                left = mid;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }

        // 输出结果
        if (right == maxv) {
            System.out.println(-1);
        } else {
            System.out.println(left);
        }
    }

    // 检查是否满足条件
    private static boolean check(int[] nums, int value) {
        long sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length - 1; i++) {
            sum += Math.min(nums[i], value);
        }
        return sum <= nums[nums.length - 1];
    }
}

Cpp

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

bool check(vector<int>& nums, int value) {
    long long sum = 0;
    for (int i = 0; i < nums.size() - 1; ++i) {
        sum += min(nums[i], value);
    }
    return sum <= nums.back(); // nums.back() 返回最后一个元素
}

int main() {
    vector<int> nums;
    int x;
    
    // 读取所有输入的整数
    while (cin >> x) {
        nums.push_back(x);
    }

    int left = 0;
    int maxv = *max_element(nums.begin(), nums.end()); // 找到数组中的最大值
    int right = maxv;

    // 二分查找最大值
    while (left < right) {
        int mid = (left + right + 1) / 2;
        if (check(nums, mid)) {
            left = mid;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }

    // 输出结果
    if (right == maxv) {
        cout << -1 << endl;
    } else {
        cout << left << endl;
    }

    return 0;
}

Python

def check(nums, value):
    total = 0
    for num in nums[:-1]:  # 排除最后一个元素
        total += min(num, value)
    return total <= nums[-1]  # 检查条件是否满足

def main():
    import sys
    input = sys.stdin.read
    nums = list(map(int, input().split()))  # 读取所有输入的整数

    left = 0
    maxv = max(nums)  # 找到数组中的最大值
    right = maxv

    # 二分查找最大值
    while left < right:
        mid = (left + right + 1) // 2
        if check(nums, mid):
            left = mid
        else:
            right = mid - 1

    # 输出结果
    if right == maxv:
        print(-1)
    else:
        print(left)

if __name__ == "__main__":
    main()