状态压缩动态规划（State Compression DP）算法详解

news2024/10/6 12:23:40

状态压缩动态规划（State Compression DP）是一种高效解决组合优化问题的技术，特别适用于那些状态空间较大且可以用二进制表示的情况。本文将详细讲解状态压缩DP的原理、常用的位运算技巧、以及具体的例题分析。

原理概述

状态压缩DP的核心思想是利用位运算来表示和操作状态。可以用一个整数的二进制位来表示一个状态集合中的元素是否存在。例如，对于一个有 n 个元素的集合，可以用一个 n 位的二进制数表示其子集，其中第 i 位为1表示该子集包含第 i 个元素，为0则表示不包含。

常用位运算技巧

在状态压缩DP中，位运算的使用是关键。以下是一些常用的位运算技巧和方法：

检查某一位是否为1：
- 例如，检查第 i位是否为1，可以使用
```
 (mask & (1 << i)) != 0
```
- 1 << i 将1左移 i 位，生成一个只有第 i位为1，其余位为0的数。将其与 mask 进行按位与操作，如果结果不为0，则说明第 i 位为1。
设置某一位为1：
- 例如，将第 i 位设置为1，可以使用
```
mask | (1 << i)
```
- 1 << i 生成一个只有第 i 位为1的数，与 mask 进行按位或操作，将第 i 位设为1。
设置某一位为0：
- 例如，将第 i 位设置为0，可以使用
```
mask & ~(1 << i)
```
  。
- 1 << i 生成一个只有第 iii 位为1的数，取反后第 i 位为0，其余位为1。将其与 mask 进行按位与操作，将第 i 位设为0。
翻转某一位：
- 例如，翻转第 iii 位，可以使用
```
 mask ^ (1 << i)
```
- 1 << i 生成一个只有第 i 位为1的数，与 mask 进行按位异或操作，翻转第 iii 位的值。
检查是否有相邻的1：
- 可以通过
```
mask & (mask >> 1)
```
  来判断是否有相邻的1。
- mask >> 1 将 mask 右移一位，如果原 mask 中有相邻的1，则 mask & (mask >> 1) 的结果不为0。

具体例题分析

例题：旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）

假设有一个包含 n 个城市的旅行商问题，要求旅行商从起点出发，访问每个城市一次并返回起点，使得总路径长度最短。

问题描述

给定一个 $n \times n$ 的矩阵 dist，其中 dist[i][j] 表示城市 i 到城市 j 的距离。要求找到一条从城市0出发，经过所有城市并回到城市0的最短路径。

状态表示

用一个 n 位的二进制数表示当前经过的城市集合，用 dp[mask][i] 表示当前状态为 mask 并且最后一个访问的城市是 i 的最短路径长度。其中 mask 是一个整数，表示二进制形式的城市访问情况。

状态转移方程

对于每一个状态 mask 和城市 i，我们可以通过遍历所有可能的前一个城市 j 来更新 dp[mask][i]：

$dp[mask][i] = \min(dp[mask][i], dp[mask \, \& \, \sim (1 << i)][j] + dist[j][i])$

其中 mask & ~(1 << i) 表示从 mask 状态中去掉城市 i 的访问记录，j 是在 mask & ~(1 << i) 状态下的最后一个访问城市。

def tsp(dist):
    n = len(dist)
    dp = [[float('inf')] * n for _ in range(1 << n)]
    dp[1][0] = 0  # 从城市0出发
    
    for mask in range(1 << n):
        for i in range(n):
            if mask & (1 << i):  # 城市i已经被访问
                for j in range(n):
                    if mask & (1 << j):  # 城市j已经被访问
                        dp[mask][i] = min(dp[mask][i], dp[mask ^ (1 << i)][j] + dist[j][i])
    
    # 从城市0出发并回到城市0
    final_mask = (1 << n) - 1
    result = min(dp[final_mask][i] + dist[i][0] for i in range(1, n))
    
    return result

# 示例输入
dist = [
    [0, 10, 15, 20],
    [10, 0, 35, 25],
    [15, 35, 0, 30],
    [20, 25, 30, 0]
]

# 调用函数
print(tsp(dist))  # 输出：80