如果你听过量子计算，那么你一定听说过Grover搜索算法。1996年，Lov Grover [1] 提出了Grover搜索算法，它是一种利用量子状态的叠加性进行并行计算并实现加速的算法。Grover搜索算法被公认为是继Shor算法后的第二大量子算法，也是第一个被完整的实验实现的量子算法，它解决的是无序数据库搜索问题。1997年，Bennett [2] 等人证明，对于非结构化的量子搜索问题，至少需要Ω(N−−√)Ω(𝑁)次量子查询，因此Grover搜索算法对于该问题是渐进意义下的最优算法。
无序数据库搜索问题（Unordered Database Search problem）就是从一个海量元素的无序数据库中，找到某些满足要求的元素。由于数据库中元素的数量是巨大的且这些元素是无序排列的，所以，要验证给定的元素是否满足要求很容易，但反过来，要找到这些元素却不是一件容易的事。
求解无序数据库搜索问题（不妨假设只有一个目标搜索数据），经典算法所需的时间复杂度为O(N)𝑂(𝑁)，而Grover搜索算法所需的时间复杂度仅为O(N−−√)𝑂(𝑁)，相比经典算法具有平方加速，展示了量子计算的强大性能。此外，Grover搜索算法中用到的振幅扩大技巧，对许多启发式的经典搜索算法可以实现加速，因而具有广泛的应用。
本文档将会介绍Grover搜索算法的基本原理，以及通过两个具体的小例子来展示如何利用MindSpore Quantum实现该算法。
问题描述
我们需要在一组无序的N𝑁元素集合（数据库）中进行搜索。将数据库中的元素与索引（从00到N−1𝑁−1之间的整数）建立一一对应，我们关注于搜索这些元素的索引。考虑将该搜索问题表示为一个关于输入x𝑥的函数f(x)𝑓(𝑥)，其中x𝑥为00到N−1𝑁−1之间的整数。那么，函数f𝑓定义为：
f(x)=⎧⎩⎨0,x≠xtarget1,x=xtarget.𝑓(𝑥)={0,𝑥≠𝑥𝑡𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡1,𝑥=𝑥𝑡𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡.
不失一般性，假设N=2n𝑁=2𝑛，那么在量子系统中，索引以量子态|0〉,|1〉,...,|N−1〉|0〉,|1〉,...,|𝑁−1〉（或|00...0〉,|00...1〉,...,|11...1〉|00...0〉,|00...1〉,...,|11...1〉）表示，也即我们可以使用n𝑛个量子比特存储这些索引。
同时假设搜索问题只有一个目标态|ω〉|𝜔〉。Grover搜索算法的目标就是以极大的概率将|ω〉|𝜔〉搜索出来。
Grover搜索算法的基本原理
Grover搜索算法的基本原理：首先通过 Hadamard 门产生均匀叠加态，然后反复调用Grover迭代（或称为G𝐺算子），以放大目标项的概率振幅同时抑制非目标项的概率振幅（该方法称之为振幅放大），最后对末态进行测量，那么就能以极大的概率得到目标态|ω〉|𝜔〉。
下面介绍Grover算法的主要步骤。
Step 1：数据库初始化
对|0〉⊗n|0〉⊗𝑛执行H⊗n𝐻⊗𝑛操作，使得数据库被初始为一个均匀叠加态，即
|ψ0〉=H⊗n|0〉⊗n=1N−−√∑i=0N−1|i〉.|𝜓0〉=𝐻⊗𝑛|0〉⊗𝑛=1𝑁∑𝑖=0𝑁−1|𝑖〉.
Step 2：Grover迭代
Grover迭代又可以分解为四步：
子步骤一
执行Oracle算子Uω𝑈𝜔，翻转目标态|ω〉|𝜔〉的相位。
为了将需要寻找的数据和其它的数据区别开，最简单的方法就是翻转目标态的相位（增加一个负号），此时我们需要构造一个Oracle算子Uω𝑈𝜔，其作用如下：
Uω|x〉=⎧⎩⎨−|x〉,x≠ω|x〉,x=ω.𝑈𝜔|𝑥〉={|𝑥〉,𝑥≠𝜔−|𝑥〉,𝑥=𝜔.
由于当x=ω𝑥=𝜔时，f(ω)=1𝑓(𝜔)=1，那么Uω𝑈𝜔的作用还可以表示成：
Uω|x〉=(−1)f(x)|x〉,𝑈𝜔|𝑥〉=(−1)𝑓(𝑥)|𝑥〉,
其矩阵表达式为
Uω=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢(−1)f(0)0⋮00(−1)f(1)⋮0……⋱…00⋮(−1)f(N−1)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥.𝑈𝜔=[(−1)𝑓(0)0…00(−1)𝑓(1)…0⋮⋮⋱⋮00…(−1)𝑓(𝑁−1)].
子步骤二
执行H⊗n𝐻⊗𝑛操作。
对n𝑛位量子比特执行H⊗n𝐻⊗𝑛操作。
子步骤三
执行条件相移算子P𝑃。
条件相移算子P𝑃能使|0〉|0〉态以外的每个态的相位都翻转，其作用如下：
P|x〉=⎧⎩⎨−|0〉,x=0|x〉,x≠0.𝑃|𝑥〉={|0〉,𝑥=0−|𝑥〉,𝑥≠0.
其矩阵表达式为
P=2(|0〉〈0|)⊗n−In=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢10⋮00−1⋮0……⋱…00⋮−1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥.𝑃=2(|0〉〈0|)⊗𝑛−𝐼𝑛=[10…00−1…0⋮⋮⋱⋮00…−1].
子步骤四
再次执行H⊗n𝐻⊗𝑛操作。
至此，完整的G𝐺算子可以表示为
G=H⊗n[2(|0〉〈0|)⊗n−In]H⊗nUω.𝐺=𝐻⊗𝑛[2(|0〉〈0|)⊗𝑛−𝐼𝑛]𝐻⊗𝑛𝑈𝜔.
注意：G𝐺算子需要迭代的次数为
r=[π4NM−−−√]∼O(N−−√),𝑟=[𝜋4𝑁𝑀]∼𝑂(𝑁),
其中，M表示目标态的个数。
Step 3：测量
对末态进行|0〉,|1〉|0〉,|1〉基测量，就能以极大的概率得到目标态|ω〉|𝜔〉。
Grover搜索算法的完整量子线路模型如下所示：
构造翻转量子比特相位的酉算子
通过上述介绍，我们发现，Grover搜索算法中最关键的部分就是存在可以翻转量子比特相位的酉算子，Oracle算子Uω𝑈𝜔可以翻转目标态的相位，条件相移算子P𝑃可以翻转|0〉|0〉态以外的每个态的相位。
接下来，我们将构造可以翻转某一位量子比特相位的酉算子，定义如下：
from mindquantum.core.circuit import Circuit
from mindquantum.core.gates import Z
def bitphaseflip_operator(phase_inversion_qubit, n_qubits): # 定义可以翻转某一位量子比特相位的函数
s = [1 for i in range(1 << n_qubits)]
for i in phase_inversion_qubit:
s[i] = -1
if s[0] == -1:
for i in range(len(s)):
s[i] = -1 * s[i]
circuit = Circuit()
length = len(s)
cz = []
for i in range(length):
if s[i] == -1:
cz.append([])
current = i
t = 0
while current != 0:
if (current & 1) == 1:
cz[-1].append(t)
t += 1
current = current >> 1
for j in range(i + 1, length):
if i & j == i:
s[j] = -1 * s[j]
for i in cz:
if i:
if len(i) > 1:
circuit += Z.on(i[-1], i[:-1])
else:
circuit += Z.on(i[0])
return circuit现在， bitphaseflip_operator() 函数就可以实现翻转某一位量子比特的相位，只需要输入需要翻转相位的目标量子态和量子比特总数即可。
举个例子，我们现在生成3量子比特的均匀叠加态，运行如下代码：
# pylint: disable=W0104
from mindquantum.core.circuit import UN
from mindquantum.core.gates import H
from mindquantum.simulator import Simulator
n_qubits = 3 # 设定量子比特数为3
sim = Simulator('mqvector', n_qubits) # 使用mqvector模拟器，命名为sim
circuit = Circuit() # 初始化量子线路，命名为circuit
circuit += UN(H, n_qubits) # 每位量子比特上执行H门操作
sim.apply_circuit(circuit) # 通过模拟器sim运行搭建好的量子线路circuit
circuit.svg() # 打印此时的量子线路circuitq0:q1:q2:HHH
print(sim.get_qs(True)) # 打印模拟器sim中运行量子线路circuit后的末态√2/4¦000〉 √2/4¦001〉 √2/4¦010〉 √2/4¦011〉 √2/4¦100〉 √2/4¦101〉 √2/4¦110〉 √2/4¦111〉
从运行的结果看到此时的量子线路，以及我们成功生成了3量子比特的均匀叠加态。
假设我们需要翻转|4〉|4〉态的相位，只需调用我们定义好的bitphaseflip_operator()函数即可，运行如下代码：
# pylint: disable=W0104
sim.reset() # 重置模拟器sim维护好的量子态，使得初始化的量子态为|000>
phase_inversion_qubit = [4] # 翻转|4>态的相位
operator = bitphaseflip_operator(phase_inversion_qubit, n_qubits)# 调用我们定义好的bitphaseflip_operator()函数
circuit += operator # 在量子线路circuit中添加翻转|4>态的相位所需的量子门
sim.apply_circuit(circuit) # 通过模拟器sim再次运行搭建好的量子线路circuit
circuit.svg() # 打印此时的量子线路circuitq0:q1:q2:HHHZZZZ
print(sim.get_qs(True)) # 打印模拟器sim中运行量子线路circuit后的末态√2/4¦000〉 √2/4¦001〉 √2/4¦010〉 √2/4¦011〉 -√2/4¦100〉 √2/4¦101〉 √2/4¦110〉 √2/4¦111〉
从运行的结果看到此时的量子线路，以及|100〉|100〉的相位翻转为-1，运行如下代码：
print(int('100', 2))4
从运行的结果看到，发生相位翻转的|100〉|100〉态即为我们希望相位翻转的|4〉|4〉态。
假设我们需要翻转除|0〉|0〉态以外的每个态的相位，运行如下代码：
# pylint: disable=W0104
n_qubits = 3 # 设定量子比特数为3
sim1 = Simulator('mqvector', n_qubits) # 使用mqvector模拟器，命名为sim1
operator1 = bitphaseflip_operator([i for i in range(1, pow(2, n_qubits))], n_qubits) # 调用我们定义好的bitphaseflip_operator()函数，翻转除|0>态以外的每个态的相位，命名为operator1
circuit1 = Circuit() # 初始化量子线路，命名为circuit1
circuit1 += UN(H, n_qubits) # 每位量子比特上执行H门操作
circuit1 += operator1 # 在量子线路circuit1中添加翻转除|0>态以外的每个态的相位所需的量子门
sim1.apply_circuit(circuit1) # 通过模拟器sim1运行搭建好的量子线路circuit1
circuit1.svg() # 打印此时的量子线路circuit1q0:q1:q2:HHHZZZZZZZ
print(sim1.get_qs(True)) # 打印模拟器sim1中运行量子线路circuit1后的末态√2/4¦000〉 -√2/4¦001〉 -√2/4¦010〉 -√2/4¦011〉 -√2/4¦100〉 -√2/4¦101〉 -√2/4¦110〉 -√2/4¦111〉
从运行的结果看到此时的量子线路，以及我们成功翻转除|0〉|0〉态以外的每个态的相位。
也就是说，我们定义的函数bitphaseflip_operator()可以实现Grover搜素算法中的Oracle算子Uω𝑈𝜔和条件相移算子P𝑃。
利用MindSpore Quantum实现Grover搜素算法实例
实例1：n=3𝑛=3，|ω〉=|2〉|𝜔〉=|2〉（单目标）
首先，我们需要定义G𝐺算子，运行如下代码：
def G(phase_inversion_qubit, n_qubits): # 定义Grover搜索算法中的G算子
operator = bitphaseflip_operator(phase_inversion_qubit, n_qubits)
operator += UN(H, n_qubits)
operator += bitphaseflip_operator([i for i in range(1, pow(2, n_qubits))], n_qubits)
operator += UN(H, n_qubits)
return operator然后，我们根据Grover搜索算法的量子线路模型在MindSpore Quantum中搭建对应的量子线路：
# pylint: disable=W0104
from numpy import pi, sqrt
n_qubits = 3 # 设定量子比特数为3
phase_inversion_qubit = [2] # 设定需要翻转相位的目标态，在这里翻转|2>态的相位
N = 2 ** (n_qubits) # 计算出数据库中元素的总个数
M = len(phase_inversion_qubit) # 计算出目标态的总个数
r = int(pi / 4 * sqrt(N / M)) # 设定G算子迭代次数为r
sim2 = Simulator('mqvector', n_qubits) # 使用mqvector模拟器，命名为sim2
circuit2 = Circuit() # 初始化量子线路，命名为circuit2
circuit2 += UN(H, n_qubits) # 每位量子比特上执行H门操作
for i in range(r): # 循环执行G算子r次
circuit2 += G(phase_inversion_qubit, n_qubits)
sim2.apply_circuit(circuit2) # 通过模拟器sim2运行搭建好的量子线路circuit2
circuit2.svg() # 打印此时的量子线路circuit2q0:q1:q2:HHHZZZZHHHZZZZZZZHHHZZZZHHHZZZZZZZHHH
print(sim2.get_qs(True)) # 打印模拟器sim2中运行量子线路circuit2后的末态-√2/16¦000〉 -√2/16¦001〉 0.9722718241315036¦010〉 -√2/16¦011〉 -√2/16¦100〉 -√2/16¦101〉 -√2/16¦110〉 -√2/16¦111〉
从运行的结果看到，|010〉|010〉态的振幅为0.9722718241315036，相比于其它的量子态，这是极大的振幅，也就是说，若我们测量此时的状态，将会以极大的概率得到目标态|010〉|010〉，运行如下代码进行测量：
# pylint: disable=W0104
from mindquantum.core.gates import Measure
sim2.reset() # 重置模拟器sim2维护好的量子态，使得初始化的量子态为|000>
circuit2 += UN(Measure(), circuit2.n_qubits) # 对量子线路circuit2中的每一位量子比特添加测量门
result = sim2.sampling(circuit2, shots=1000) # 通过模拟器sim2对量子线路circuit2进行1000次的采样
result.svg() # 打印采样结果Shots: 1000Keys: q2 q1 q00.00.1850.3690.5540.7380.923000130017010923011710014101131101011113probability
从运行的结果看到，1000次采样中有923次的采样结果为010（由于具有随机性，每次运行有略微差距），将其转化为10进制数，运行如下代码：
print(int('010', 2))2
从运行的结果看到，我们成功地搜索出|2〉|2〉态。
实例2：n=5𝑛=5，|ω〉=|5〉|𝜔〉=|5〉和|11〉|11〉（多目标）
实例1中实现的是单目标搜索，现在我们尝试实现多目标搜索。首先，G𝐺算子已经定义好了，我们只需设定量子比特数和需要翻转相位的目标态，然后搭建对应的量子线路即可，运行如下代码：
# pylint: disable=W0104
n_qubits = 5 # 设定量子比特数为5
phase_inversion_qubit = [5, 11] # 设定需要翻转相位的目标态，在这里翻转|5>态和|11>态的相位
N = 2 ** (n_qubits) # 计算出数据库中元素的总个数
M = len(phase_inversion_qubit) # 计算出目标态的总个数
r = int(pi / 4 * sqrt(N / M)) # 设定G算子迭代次数为r
sim3 = Simulator('mqvector', n_qubits) # 使用mqvector模拟器，命名为sim3
circuit3 = Circuit() # 初始化量子线路，命名为circuit3
circuit3 += UN(H, n_qubits) # 每位量子比特上执行H门操作
for i in range(r): # 循环执行G算子r次
circuit3 += G(phase_inversion_qubit, n_qubits)
sim3.apply_circuit(circuit3) # 通过模拟器sim3运行搭建好的量子线路circuit3
circuit3.svg() # 打印此时的量子线路circuit3q0:q1:q2:q3:q4:HHHHHZZZZZZZZHHHHHZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZHHHHHZZZZZZZZHHHHHZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZHHHHHZZZZZZZZHHHHHZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZHHHHH
print(sim3.get_qs(True)) # 打印模拟器sim3中运行量子线路circuit3后的末态-0.035907766232129455¦00000〉 -0.035907766232129365¦00001〉 -0.03590776623212947¦00010〉 -0.035907766232129254¦00011〉 -0.03590776623212947¦00100〉 0.6932961018664989¦00101〉 -0.035907766232129455¦00110〉 -0.035907766232129365¦00111〉 -0.035907766232129455¦01000〉 -0.035907766232129365¦01001〉 -0.03590776623212947¦01010〉 0.6932961018664989¦01011〉 -0.03590776623212947¦01100〉 -0.035907766232129254¦01101〉 -0.035907766232129455¦01110〉 -0.035907766232129365¦01111〉 -0.0359077662321294¦10000〉 -0.03590776623212939¦10001〉 -0.03590776623212936¦10010〉 -0.03590776623212949¦10011〉 -0.03590776623212936¦10100〉 -0.03590776623212949¦10101〉 -0.0359077662321294¦10110〉 -0.03590776623212939¦10111〉 -0.0359077662321294¦11000〉 -0.03590776623212939¦11001〉 -0.03590776623212936¦11010〉 -0.03590776623212949¦11011〉 -0.03590776623212936¦11100〉 -0.03590776623212949¦11101〉 -0.0359077662321294¦11110〉 -0.03590776623212939¦11111〉
从运行的结果看到，|00101〉|00101〉和|01011〉|01011〉态的振幅均为0.6932961018664989，相比于其它的量子态，这是极大的振幅，也就是说，若我们测量此时的状态，将会以极大的概率得到目标态|00101〉|00101〉和|01011〉|01011〉态，运行如下代码进行测量：
# pylint: disable=W0104
sim3.reset() # 重置模拟器sim3维护好的量子态，使得初始化的量子态为|00000>
circuit3 += UN(Measure(), circuit3.n_qubits) # 对量子线路circuit3中的每一位量子比特添加测量门
result1 = sim3.sampling(circuit3, shots=1000) # 通过模拟器sim3对量子线路circuit3进行1000次的采样
result1.svg() # 打印采样结果Shots: 1000Keys: q4 q3 q2 q1 q00.00.0970.1950.2920.390.4870000020001020001110010148700110101010301011478011013011102011111100002100012100101100111101003101011101101101111110011111001111011111102111113probability
从运行的结果看到，1000次采样中有487次的采样结果为00101和478次的采样结果为01011（由于具有随机性，每次运行会略有不同），将其转化为10进制数，运行如下代码：
print(int('00101', 2))
print(int('01011', 2))5 11
从运行的结果看到，我们成功地搜索出|5〉|5〉和|11〉|11〉态。
至此，我们介绍了Grover搜索算法的基本原理，以及通过两个具体的小例子来展示如何利用MindSpore Quantum实现该算法！赶紧动手体验一下量子编程的乐趣吧！
龙算法
除了在规模为4的数据库中找1个数据的场景，Grover算法不能够精确的搜索出所标记态。清华大学龙桂鲁教授在Grover算法基础之上提出量子精确搜索算法龙算法[3]，能够以准确率为1的概率在所有场景中搜索出目标态。其主要思想是将Grover算子改写为如下的算子，
L=−H⊗nR0H⊗nRτ𝐿=−𝐻⊗𝑛𝑅0𝐻⊗𝑛𝑅𝜏
其中：R0=(I+(eiθ−1)|0〉〈0|)𝑅0=(𝐼+(𝑒𝑖𝜃−1)|0〉〈0|)，Rτ=(I+(eiθ−1)|τ〉〈τ|)𝑅𝜏=(𝐼+(𝑒𝑖𝜃−1)|𝜏〉〈𝜏|)。在满足相位匹配条件时，
θ=2arcsin(sinβsin(π4Js+6))𝜃=2arcsin(sin𝛽sin(𝜋4𝐽𝑠+6))
我们只需作用Js+1𝐽𝑠+1次龙算子，就可以以概率1找到目标态，这里β=arcsinM/N−−−−−√𝛽=arcsin𝑀/𝑁，M𝑀为标记态个数，N𝑁为数据库大小，Js>=[((π/2)−β)/β]𝐽𝑠>=[((𝜋/2)−𝛽)/𝛽]。下面我们用MindSpore Quantum来实现。
一般角度相位转动线路
借助于辅助比特，我们搭建某个计算基矢一般角度相位转动线路。
from mindquantum.core.gates import X, PhaseShift
from mindquantum.core.circuit import Circuit
def change_phase_with_anclia(which, n_qubits, phase):
c = Circuit()
which_bit = bin(which)[2:].zfill(n_qubits)[::-1]
polarity_circ = Circuit()
for idx, bit in enumerate(which_bit):
if bit == "0":
polarity_circ += X.on(idx)
c += polarity_circ
c += PhaseShift(phase).on(n_qubits, list(range(n_qubits)))
c += polarity_circ
return c搭建龙算子
from mindquantum.core.gates import BARRIER, Z
def L(which, n_qubits, theta, phi):
U = UN(H, n_qubits)
R0 = change_phase_with_anclia(0, n_qubits, theta)
R_t = change_phase_with_anclia(which, n_qubits, phi)
g_ops = R_t + BARRIER + U + BARRIER + R0 + BARRIER + U + BARRIER
g_ops += Z.on(n_qubits)
return g_ops完成量子精确搜索算法：龙算法
这里我们以3比特数据库中搜索|2〉|2〉态为例，完成龙算法。
import numpy as np
from mindquantum.core.gates import H
from mindquantum.core.circuit import UN
n_qubits = 3
will_find = 2
beta = np.arcsin(np.sqrt(1 / 2**n_qubits))
Js = int((np.pi / 2 - beta) / 2 / beta)
theta = 2 * np.arcsin(np.sin(np.pi / (4 * Js + 6)) / np.sin(beta))
phi = theta
g = L(will_find, n_qubits, theta, phi) # 构建用于精确搜索的龙算子
circ = UN(H, n_qubits) + X.on(n_qubits)
for i in range(Js + 1):
circ += g
circ.svg()q0:q1:q2:q3:HHHXXXPS2.1269XXHHHXXXPS2.1269XXXHHHZXXPS2.1269XXHHHXXXPS2.1269XXXHHHZ
接下来，我们计算线路的量子态。
print(circ.get_qs(ket=True))(0.048708136684586345-0.9988130542902997j)¦1010〉
发现，除去相位，我们可以精确的得到目标态。通过采样，我们也可以得到如下类似的结果。
from mindquantum.simulator import Simulator
from mindquantum.core.gates import Measure
sim = Simulator('mqvector', circ.n_qubits)
res = sim.sampling(circ + UN(Measure(), circ.n_qubits), shots=100)
res.svg()Shots: 100Keys: q3 q2 q1 q00.00.20.40.60.81.01010100probability
from mindquantum.utils.show_info import InfoTable
InfoTable('mindquantum', 'scipy', 'numpy')| Software | Version |
|---|---|
| mindquantum | 0.9.11 |
| scipy | 1.10.1 |
| numpy | 1.23.5 |
| System | Info |
| Python | 3.9.16 |
| OS | Linux x86_64 |
| Memory | 8.3 GB |
| CPU Max Thread | 8 |
| Date | Sat Dec 30 00:07:45 2023 |
参考文献：
[1] L. K. Grover, A fast quantum mechanical algorithm for database search[C]// Proceedings of the twenty-eighth annual ACM symposium on Theory of computing. ACM, 1996: 212-219.
[2] G. Brassard, P. Hoyer, M. Mosca, et al. Quantum amplitude amplification and estimation[J]. Contemporary Mathematics, 2002, 305: 53-74.
[3] Long G L. Grover algorithm with zero theoretical failure rate. Physical Rev A, 2001, 64: 022307.
