\qquad 想要完全理解二维树状数组，要先完全理解一维树状数组。这里给大家推荐一个视频：五分钟丝滑动画讲解 | 树状数组。建议大家先看一遍视频再来看下面的讲解。

\qquad 在一维树状数组中，$tre[i]$ 可以理解为以 $i$ 为结尾的长度为 $lowbit(i)$ 的数之和。

\qquad 列如：$lowbit(12)=4$ 所以 $tre[12]$ 表示以 $12$ 结尾的长度为 $4$ 的数的和，即下图中标红的地方。

\qquad 那么我们可以尝试用 $tre[i][j]$ 表示右下角在第 $i$ 行，第 $j$ 列，宽为 $lowbit(j)$，高为 $lowbit(i)$ 的矩阵。

\qquad 例如：$lowbit(10)=2$ 所以 $tre[10][12]$ 表示右下角在第 $10$ 行，第 $12$ 列，宽为 $4$，高为 $2$ 的矩阵，即下图中标红的地方。

\qquad 在一维树状数组中，$12$ 的前缀和为 $tre[8]+tre[12]$，即下图中标红的两个地方。

\qquad 而 $13$ 得前缀和为 $tre[8]+tre[12]+tre[13]$，即下图中标紫的三个地方。

\qquad 我们把它们对应到二维矩阵中：

所以要求右下角在第 $12$ 行，第 $13$ 列的矩阵前缀和，就需要将下图标绿的矩阵求和。

\qquad 那么在代码中，我们就只需要写两层循环，一层遍历行的的 $lowbit$，一层遍历列的的 $lowbit$，将所有遍历到的矩阵求和。

// 查询左上角在 第一行第一列，右下角在第 H 行第 L 列的矩阵之和
inline ll query(ll H,ll L){
   ll res=0;
   // 遍历行的 lowbit 
   for(ll i=H;i>=1;i-=lowbit(i)){
   	// 遍历列的 lowbit
   	for(ll j=L;j>=1;j-=lowbit(j)) {
   		res+=tre[i][j];
   	}
   }
   return res;
}

\qquad 好，那么你已经学会了二维树状数组的区间查询，接下来我们看单点修改。

\qquad 不想画图了，原理和上面的差不多，直接上代码。

// 将第 H 行，第 L 列的数加上 k 
inline modify(ll H,ll L,ll k){
	// 遍历行的 lowbit 
	for(ll i=H;i<=n;i+=lowbit(i)){
		// 遍历列的 lowbit 
		for(ll j=L;j<=m;j+=lowbit(j)){
			tre[i][j]+=k;
		}
	}
}

\qquad 最后上一个完整代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll tre[105][105],n,m;
inline ll lowbit(ll k){return k&(-k);}

// 将第 H 行，第 L 列的数加上 k 
inline modify(ll H,ll L,ll k){
	// 遍历行的 lowbit 
	for(ll i=H;i<=n;i+=lowbit(i)){
		// 遍历列的 lowbit 
		for(ll j=L;j<=m;j+=lowbit(j)){
			tre[i][j]+=k;
		}
	}
}

// 查询左上角在 第一行第一列，右下角在第 H 行第 L 列的矩阵之和
inline ll query(ll H,ll L){
	ll res=0;
	// 遍历行的 lowbit 
	for(ll i=H;i>=1;i-=lowbit(i)){
		// 遍历列的 lowbit
		for(ll j=L;j>=1;j-=lowbit(j)) {
			res+=tre[i][j];
		}
	}
	return res;
}

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n>>m;
	while(1){
		ll op,H,L,k;
		cin>>op>>H>>L;
		if(op==1){
			cin>>k;
			modify(H,L,k);
		}
		else cout<<query(H,L)<<endl;
	}
	return 0;
}

有不懂的私信我，我都会尽量回的。ok，讲完了。