椭圆的矩阵表示法
flyfish
1. 标准几何表示法
标准几何表示法是通过椭圆的几何定义来表示的：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
a2x2+b2y2=1其中，
a
a
a 是椭圆的长半轴长度，
b
b
b 是椭圆的短半轴长度。
2. 线性代数表示法
线性代数表示法是通过椭圆的二次型表示的：
x
T
Σ
−
1
x
=
c
\mathbf{x}^T \Sigma^{-1} \mathbf{x} = c
xTΣ−1x=c其中，
x
\mathbf{x}
x 是点的向量表示
(
x
y
)
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
(xy)，
Σ
\Sigma
Σ 是一个正定矩阵（协方差矩阵的逆），
c
c
c 是一个常数。
推导两者之间的关系
我们通过具体推导来看这两者之间的关系：
假设我们有一个标准形式的椭圆方程：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
a2x2+b2y2=1
可以将其改写为矩阵形式：
(
x
y
)
(
1
a
2
0
0
1
b
2
)
(
x
y
)
=
1
\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{a^2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{b^2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 1
(xy)(a2100b21)(xy)=1在这里，矩阵
(
1
a
2
0
0
1
b
2
)
\begin{pmatrix} \frac{1}{a^2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{b^2} \end{pmatrix}
(a2100b21) 就是
Σ
−
1
\Sigma^{-1}
Σ−1，而常数
c
=
1
c = 1
c=1。
因此，标准形式的椭圆方程可以被视为线性代数表示法的一种特例，其中：
Σ
−
1
=
(
1
a
2
0
0
1
b
2
)
\Sigma^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a^2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{b^2} \end{pmatrix}
Σ−1=(a2100b21)
这也意味着：
Σ
=
(
a
2
0
0
b
2
)
\Sigma = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & b^2 \end{pmatrix}
Σ=(a200b2)
更一般的情况
如果椭圆不是标准形式的（例如旋转过或者平移过的椭圆），其线性代数表示法中的矩阵 Σ \Sigma Σ 将不是对角矩阵，而是一个包含非零的非对角元素的矩阵。
1. 椭圆的几何定义
设椭圆的两个焦点分别为
F
1
(
−
c
,
0
)
F_1(-c, 0)
F1(−c,0) 和
F
2
(
c
,
0
)
F_2(c, 0)
F2(c,0)，椭圆上的任意一点
P
(
x
,
y
)
P(x, y)
P(x,y) 满足以下条件：
P
F
1
+
P
F
2
=
2
a
PF_1 + PF_2 = 2a
PF1+PF2=2a
其中，
2
a
2a
2a 是椭圆的长轴长度，
a
a
a 是长半轴的长度。
2. 代入距离公式
根据距离公式，可以得到
P
P
P 到
F
1
F_1
F1 和
F
2
F_2
F2 的距离分别为：
P
F
1
=
(
x
+
c
)
2
+
y
2
PF_1 = \sqrt{(x + c)^2 + y^2}
PF1=(x+c)2+y2
P
F
2
=
(
x
−
c
)
2
+
y
2
PF_2 = \sqrt{(x - c)^2 + y^2}
PF2=(x−c)2+y2根据椭圆的定义，有：
(
x
+
c
)
2
+
y
2
+
(
x
−
c
)
2
+
y
2
=
2
a
\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a
(x+c)2+y2+(x−c)2+y2=2a
3. 消除根号
为了简化这个方程，我们首先将方程两边平方：
(
(
x
+
c
)
2
+
y
2
+
(
x
−
c
)
2
+
y
2
)
2
=
(
2
a
)
2
\left( \sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} \right)^2 = (2a)^2
((x+c)2+y2+(x−c)2+y2)2=(2a)2展开左边：
(
x
+
c
)
2
+
y
2
+
(
x
−
c
)
2
+
y
2
+
2
(
(
x
+
c
)
2
+
y
2
)
(
(
x
−
c
)
2
+
y
2
)
=
4
a
2
(x + c)^2 + y^2 + (x - c)^2 + y^2 + 2 \sqrt{((x + c)^2 + y^2)((x - c)^2 + y^2)} = 4a^2
(x+c)2+y2+(x−c)2+y2+2((x+c)2+y2)((x−c)2+y2)=4a2
4. 凑平方差
我们先简化左边的前两项：
(
x
+
c
)
2
+
y
2
+
(
x
−
c
)
2
+
y
2
=
x
2
+
2
x
c
+
c
2
+
y
2
+
x
2
−
2
x
c
+
c
2
+
y
2
(x + c)^2 + y^2 + (x - c)^2 + y^2 = x^2 + 2xc + c^2 + y^2 + x^2 - 2xc + c^2 + y^2
(x+c)2+y2+(x−c)2+y2=x2+2xc+c2+y2+x2−2xc+c2+y2
=
2
x
2
+
2
y
2
+
2
c
2
= 2x^2 + 2y^2 + 2c^2
=2x2+2y2+2c2代入上面的方程得到：
2
x
2
+
2
y
2
+
2
c
2
+
2
(
(
x
+
c
)
2
+
y
2
)
(
(
x
−
c
)
2
+
y
2
)
=
4
a
2
2x^2 + 2y^2 + 2c^2 + 2 \sqrt{((x + c)^2 + y^2)((x - c)^2 + y^2)} = 4a^2
2x2+2y2+2c2+2((x+c)2+y2)((x−c)2+y2)=4a2移项得到：
2
(
(
x
+
c
)
2
+
y
2
)
(
(
x
−
c
)
2
+
y
2
)
=
4
a
2
−
2
x
2
−
2
y
2
−
2
c
2
2 \sqrt{((x + c)^2 + y^2)((x - c)^2 + y^2)} = 4a^2 - 2x^2 - 2y^2 - 2c^2
2((x+c)2+y2)((x−c)2+y2)=4a2−2x2−2y2−2c2
(
(
x
+
c
)
2
+
y
2
)
(
(
x
−
c
)
2
+
y
2
)
=
2
a
2
−
x
2
−
y
2
−
c
2
\sqrt{((x + c)^2 + y^2)((x - c)^2 + y^2)} = 2a^2 - x^2 - y^2 - c^2
((x+c)2+y2)((x−c)2+y2)=2a2−x2−y2−c2
5. 消去根号
为了继续消去根号，我们再次平方两边：
(
(
(
x
+
c
)
2
+
y
2
)
(
(
x
−
c
)
2
+
y
2
)
)
2
=
(
2
a
2
−
x
2
−
y
2
−
c
2
)
2
\left( \sqrt{((x + c)^2 + y^2)((x - c)^2 + y^2)} \right)^2 = (2a^2 - x^2 - y^2 - c^2)^2
(((x+c)2+y2)((x−c)2+y2))2=(2a2−x2−y2−c2)2展开左边：
(
(
x
+
c
)
2
+
y
2
)
(
(
x
−
c
)
2
+
y
2
)
=
(
2
a
2
−
x
2
−
y
2
−
c
2
)
2
((x + c)^2 + y^2)((x - c)^2 + y^2) = (2a^2 - x^2 - y^2 - c^2)^2
((x+c)2+y2)((x−c)2+y2)=(2a2−x2−y2−c2)2
6. 简化方程
左边的展开：
(
x
2
+
2
x
c
+
c
2
+
y
2
)
(
x
2
−
2
x
c
+
c
2
+
y
2
)
(x^2 + 2xc + c^2 + y^2)(x^2 - 2xc + c^2 + y^2)
(x2+2xc+c2+y2)(x2−2xc+c2+y2)
=
(
x
2
+
y
2
+
c
2
)
2
−
(
2
x
c
)
2
= (x^2 + y^2 + c^2)^2 - (2xc)^2
=(x2+y2+c2)2−(2xc)2
=
(
x
2
+
y
2
+
c
2
)
2
−
4
x
2
c
2
= (x^2 + y^2 + c^2)^2 - 4x^2c^2
=(x2+y2+c2)2−4x2c2右边的展开：
(
2
a
2
−
x
2
−
y
2
−
c
2
)
2
(2a^2 - x^2 - y^2 - c^2)^2
(2a2−x2−y2−c2)2
=
4
a
4
−
4
a
2
(
x
2
+
y
2
+
c
2
)
+
(
x
2
+
y
2
+
c
2
)
2
= 4a^4 - 4a^2(x^2 + y^2 + c^2) + (x^2 + y^2 + c^2)^2
=4a4−4a2(x2+y2+c2)+(x2+y2+c2)2令左边和右边相等：
(
x
2
+
y
2
+
c
2
)
2
−
4
x
2
c
2
=
4
a
4
−
4
a
2
(
x
2
+
y
2
+
c
2
)
+
(
x
2
+
y
2
+
c
2
)
2
(x^2 + y^2 + c^2)^2 - 4x^2c^2 = 4a^4 - 4a^2(x^2 + y^2 + c^2) + (x^2 + y^2 + c^2)^2
(x2+y2+c2)2−4x2c2=4a4−4a2(x2+y2+c2)+(x2+y2+c2)2相消掉相同项后：
−
4
x
2
c
2
=
4
a
4
−
4
a
2
(
x
2
+
y
2
+
c
2
)
- 4x^2c^2 = 4a^4 - 4a^2(x^2 + y^2 + c^2)
−4x2c2=4a4−4a2(x2+y2+c2)
x
2
c
2
=
a
2
(
x
2
+
y
2
+
c
2
)
−
a
4
x^2c^2 = a^2(x^2 + y^2 + c^2) - a^4
x2c2=a2(x2+y2+c2)−a4由于
c
2
=
a
2
−
b
2
c^2 = a^2 - b^2
c2=a2−b2，我们将其代入上式中：
x
2
(
a
2
−
b
2
)
=
a
2
(
x
2
+
y
2
+
(
a
2
−
b
2
)
)
−
a
4
x^2(a^2 - b^2) = a^2(x^2 + y^2 + (a^2 - b^2)) - a^4
x2(a2−b2)=a2(x2+y2+(a2−b2))−a4
x
2
a
2
−
x
2
b
2
=
a
2
x
2
+
a
2
y
2
+
a
4
−
a
2
b
2
−
a
4
x^2a^2 - x^2b^2 = a^2x^2 + a^2y^2 + a^4 - a^2b^2 - a^4
x2a2−x2b2=a2x2+a2y2+a4−a2b2−a4
x
2
a
2
−
x
2
b
2
=
a
2
x
2
+
a
2
y
2
−
a
2
b
2
x^2a^2 - x^2b^2 = a^2x^2 + a^2y^2 - a^2b^2
x2a2−x2b2=a2x2+a2y2−a2b2整理后得到：
−
x
2
b
2
=
a
2
y
2
−
a
2
b
2
-x^2b^2 = a^2y^2 - a^2b^2
−x2b2=a2y2−a2b2
x
2
b
2
=
a
2
b
2
−
a
2
y
2
x^2b^2 = a^2b^2 - a^2y^2
x2b2=a2b2−a2y2
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
a2x2+b2y2=1
最终的标准椭圆方程
x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 a2x2+b2y2=1
