图卷积网络（Graph Convolutional Network, GCN）是一种用于处理图结构数据的深度学习模型。GCN编码器的核心思想是通过邻接节点的信息聚合来更新节点表示。
图的表示
一个图 G通常表示为 G=(V,E)，其中：
- V 是节点集合，包含 N个节点。
- E是边集合，包含图中所有的边。
节点特征矩阵
假设每个节点 i有一个特征向量 （维度为 F），所有节点的特征可以表示为矩阵
。
邻接矩阵
图的邻接矩阵 表示图中节点之间的连接关系，其中
表示节点 i和节点 j之间有边，反之为 0。
度矩阵
度矩阵是一个对角矩阵，其中
表示节点 i的度，即节点 i的邻居数量：
图卷积层
GCN编码器由多个图卷积层组成，每一层的运算可以描述为：
其中：
，即在邻接矩阵A中加上自环（self-loop），其中 I是单位矩阵。
是对应的度矩阵，计算方式与度矩阵 D类似，只不过这里考虑了自环。
是第 l层的节点表示矩阵，初始表示
。
是第 l层的权重矩阵。
- σ 是非线性激活函数（例如ReLU）。
归一化的邻接矩阵
因此，图卷积层的更新规则可以简化为：
GCN通常由多层图卷积层堆叠而成。假设有 L层，那么经过 L 层图卷积后，最终的节点表示为 。
聚合和更新
每一层的图卷积操作本质上是对每个节点的邻居节点信息进行聚合，然后通过线性变换和非线性激活函数进行更新。具体过程如下：
- 聚合邻居信息：使用归一化的邻接矩阵
对节点表示进行线性变换，得到聚合后的邻居信息。
- 线性变换：通过权重矩阵
- 非线性激活：应用非线性激活函数 σ进行非线性变换。
最后
GCN编码器的结构可以通过如下递归公式表示：
初始状态下 ，经过 L层图卷积后，得到最终的节点表示
。每层的图卷积通过聚合邻居信息、线性变换和非线性激活来更新节点表示。
