前言：
① 周期信号 与 直流信号 都是功率信号
②一个信号可以既不是能量信号也不是功率信号，但不可能既是能量信号又是功率信号

归一化能量

对于一个连续时间信号 ( x(t) )，归一化能量 ( E ) 的定义为：
$$E=\underset{T\to \infty }{\lim }{\int }_{-T}^T|x(t){|}^{2}dt$$

对于一个离散时间信号 ( x[k] )，归一化能量 ( E ) 的定义为：
$$E=\underset{N\to \infty }{\lim }\sum _{k=-N}^N|x[k]{|}^2$$

归一化功率

对于一个连续时间信号 ( x(t) )，归一化功率 ( P ) 的定义为：
$$P=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T|x(t){|}^{2}dt$$

对于一个离散时间信号 ( x[k] )，归一化功率 ( P ) 的定义为：
$$P=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{k=-N}^N|x[k]{|}^2$$

为什么乘以 ( \frac{1}{2T} ) 和 ( \frac{1}{2N+1} )

1. 连续时间信号的归一化功率

在连续时间信号中，我们考虑的是信号在时间区间 ([-T, T]) 上的平均功率。因此，我们计算总能量后，乘以 ( \frac{1}{2T} ) 来得到平均功率：

$$P=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T|x(t){|}^{2}dt$$

其中 ( 2T ) 是区间的长度。

2. 离散时间信号的归一化功率

在离散时间信号中，我们考虑的是信号在区间 ([-N, N]) 上的平均功率。由于离散信号的点是离散的，所以总的点数为 ( 2N+1 )。为了得到平均功率，我们计算总能量后，乘以 ( \frac{1}{2N+1} )：

$$P=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{k=-N}^N|x[k]{|}^2$$

其中 ( 2N+1 ) 是区间内的点数。

实际例子解释

• 连续信号 ( x(t) = C ):

  • 归一化能量：
    $$E=\underset{T\to \infty }{\lim }{\int }_{-T}^T|C{|}^{2}dt=\underset{T\to \infty }{\lim }2C^{2}T=\infty$$
  • 归一化功率：
    $$P=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T|C{|}^{2}dt=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{2C^{2}T}{2T}=C^2$$

• 离散信号 ( x[k] = 0.5^k ):

  • 归一化能量：
    $$E=\underset{N\to \infty }{\lim }\sum _{k=-N}^N|0.5^k{|}^2=\infty$$
  • 归一化功率：
    $$P=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{k=-N}^N|0.5^k{|}^2=\infty$$