【PL理论】(33) 类型系统：推导树证明 φ ⊢ e∶t

【PL理论】(33) 类型系统：推导树证明 φ ⊢ e∶t | 继续定义关系：γ ⊢ e∶t

news2024/11/17 16:29:47

💬 写在前面：本章我们将讲解推导树证明，推导树实际上就是推理规则的应用。只要学会如何选择并应用适当的推理规则，证明就不是难事了。

0x00 推导树证明 𝝓 ⊢ 𝒆 ∶ 𝒕

0x01 继续定义关系：𝚪 ⊢ 𝒆 ∶ 𝒕

0x00 推导树证明 𝝓 ⊢ 𝒆 ∶ 𝒕

对于程序 $e$ ，如果我们能画出一个推导树来证明：

$\color{} \phi \vdash e:t$

那么我们的类型系统接受 $e$ ，这意味着该程序没有类型错误。

推导树就是推理规则的应用，整个程序的形式为 let x = e1 in e2，因此我们应用以下推理规则：

实例化 $\color{} \Gamma$ 为 $\color{} \phi$ ， $\color{} e_1:= 3+2,e_2:=x<2$ ：

左子树必须证明： $\color{} \phi \vdash 3+2 :int$

右子树必须证明： $\color{} x \mapsto int \vdash x<7 : bool$

完整的推导树如下所示，注意观察每个子树部分应用了哪些推理规则：

0x01 继续定义关系：𝚪 ⊢ 𝒆 ∶ 𝒕

下面我们继续定义关系： $\color{} \phi \vdash e:t$

考虑 let f x = e1 in e2（函数定义），假设当参数 $\color{} x$ 的类型为 $\color{} t_a$ 时， $\color{} e_1$ 的类型为 $\color{} t_r$ 。

那么函数 $\color{} f$ 的类型是 $\color{} t_a \mapsto t_r$ ：

思考 $\color{} e_1,e_2$ 的和函数应用：

如果 $\color{} e_1$ 的类型为 $\color{} t_a\rightarrow t_r$ ，且参数 $\color{} e_2$ 的类型为 $\color{} t_a$ ，则函数调用的结果为 $\color{} t_r$

证明对于以下程序 $\color{} \phi \vdash e:t$ ，写出其推导树：

使用以下推理规则，实例化 $\color{} \Gamma$ 为 $\color{} \phi$ ， $\color{} e_1:= x<1,e_2:=f5$ 。

同时，我们知道 $\color{} t_a$ 必须是 int，而 $\color{} t_r$ 是 bool：

完整的推导树如下：

0x02 注意多种类型地情况

意对于某些程序 (𝒆)，可能存在多种类型 (𝒕)，使得 𝝓 ⊢ 𝒆 ∶ 𝒕 成立。

换句话说，类型可能不唯一确定！

以 let f x = x in f 为例：以下几种情况下的 𝝓 ⊢ 𝒆 ∶ 𝒕 都是可以证明，可以画出推导树的：

📌 [ 笔者 ]   王亦优
📃 [ 更新 ]   2024.6.15
❌ [ 勘误 ]   /* 暂无 */
📜 [ 声明 ]   由于作者水平有限，本文有错误和不准确之处在所难免，
              本人也很想知道这些错误，恳望读者批评指正！

📜 参考资料

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- T. Cormen《算法导论》（第三版），麻省理工学院出版社，2009年。

- T. Roughgarden, Algorithms Illuminated, Part 1~3, Soundlikeyourself Publishing, 2018.

- J. Kleinberg&E. Tardos, Algorithm Design, Addison Wesley, 2005.

- R. Sedgewick&K. Wayne，《算法》（第四版），Addison-Wesley，2011

- S. Dasgupta，《算法》，McGraw-Hill教育出版社，2006。

- S. Baase&A. Van Gelder, Computer Algorithms: 设计与分析简介》，Addison Wesley，2000。

- E. Horowitz，《C语言中的数据结构基础》，计算机科学出版社，1993

- S. Skiena, The Algorithm Design Manual (2nd ed.), Springer, 2008.

- A. Aho, J. Hopcroft, and J. Ullman, Design and Analysis of Algorithms, Addison-Wesley, 1974.

- M. Weiss, Data Structure and Algorithm Analysis in C (2nd ed.), Pearson, 1997.

- A. Levitin, Introduction to the Design and Analysis of Algorithms, Addison Wesley, 2003. - A. Aho, J. Hopcroft, and J. Ullman, Data Structures and Algorithms, Addison-Wesley, 1983.

- E. Horowitz, S. Sahni and S. Rajasekaran, Computer Algorithms/C++, Computer Science Press, 1997.

- R. Sedgewick, Algorithms in C: 第1-4部分（第三版），Addison-Wesley，1998

- R. Sedgewick，《C语言中的算法》。第5部分（第3版），Addison-Wesley，2002

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