0、背景描述

过去一年，我基本都在考虑塔架（尤其是混塔）频率仿真/模态分析的问题。关于这个问题，不仅有地基刚度，还有塔筒本身以及其他影响频率的因素（比如阻尼）。考虑到仿真准确（先不说能不能非常准确）并不能彻底解决这个问题，我也慢慢在考虑如何从根本上解决风电机组频率偏差带来的问题。

基于上面的考虑，最近偶尔也会涉猎一些动力学的知识。本篇文章是从微信公众号模态空间拿来的，感觉非常不错，所以录入，以防丢失。想要看原文的点击这里。

原文参考的图书是

谭祥军. 从这里学NVH——噪声、振动、模态分析的入门与进阶（第二版），机械工业出版社，2021

来自这里，有兴趣的也可以看一看。

1、正文

很多时候，我们都认为共振频率与固有频率是一个东西，但实质上讲，二者有着本质的区别。第一，描述的角度不同，固有频率是结构的固有属性，跟外界激励没有关系，因此，固有频率是从结构固有特性角度来描述的。而共振频率是从结构受外界激励产生的响应来描述的，共振是一种现象。或者说，在“输入-振动系统-输出”模型中，固有频率是振动系统的固有属性，而共振是系统的输出。第二，二者的计算公式也有差异，但差异很细微。正是因为差异细微，才导致我们普遍都认为二者是同一个概念。

在这，以最简单的单自由度（SDOF）系统为例来说明共振频率和共振带的定义。SDOF系统的质量为$m$ ，刚度为$k$，粘性阻尼为$c$，其传递函数$H(s)$定义为:
$$H(s)=\frac{1}{m{s}^2+cs+k}=\frac{1/m}{s^2+cs/m+k/m}$$
对于欠阻尼系统求解这个系统的特征方程（分母），得到系统极点
$$\lambda ,{\lambda }^{\ast }=-\zeta {\omega }_n\pm \sqrt{(\zeta {\omega }_n{)}^2-{\omega }_n^2}=\zeta \omega \pm i{\omega }_d$$
式中是$\zeta$阻尼比， ${\omega }_n$ 是无阻尼固有频率， ${\omega }_d$是有阻尼固有频率，定义分别如下 :
$$\zeta =\frac{c}{2\sqrt{mk}}$$
$${\omega }_n=\sqrt{\frac{k}{m}}或者f_n=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$$
$${\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}或者f_d=f_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$$
将阻尼比和无阻尼固有频率代入传递函数中，有:
$$H(s)=\frac{1/m}{s^2+cs/m+k/m}=\frac{1/m}{s^2+s2\zeta {\omega }_n+{\omega }_n^2}$$
我们知道，频响函数是传递函数在虚轴上的估计，即当$s=i\omega =i2\pi f$ 时，得到频响函数：
$$H(f)=\frac{1/m}{-{\omega }^2+i2\zeta {\omega }_n\omega +{\omega }_n^2}$$
将上式分子分母同时除以 ${\omega }_n^2$ ，且$\frac{\omega }{{\omega }_n}=\frac{f}{f_n}$ ，整理得：
$$H(f)=\frac{1/k}{1-(\frac{f}{f_n}{)}^2+i2\zeta (\frac{f}{f_n})}$$

上式是动柔度（位移/力）的表达式。当激励频率等于无阻尼固有频率时，即$f=f_n$时 ，上式变成 ：

$$H(f)=\frac{1}{i2k\zeta }=-\frac{i}{2\zeta k}$$

此时，频响函数是一个负值纯虚数，这表明在这个频率处，频响函数对应的相位是-90°或 （$-i$对应-90°）。这解释了为什么动柔度曲线的相位在固有频率处是-90°。

频响函数是复值函数，可以写成幅值与相位，或实部与虚部的形式。SDOF系统的频响函数的幅值$\left|H(f)\right|$和相位$\angle H(f)$为 :

$$\left|H(f)\right|=\frac{1/k}{\sqrt{(1-\frac{f}{f_n}{)}^2{)}^2+(2\zeta \frac{f}{f_n}{)}^2}}$$

$$\angle H(f)=-arctan(\frac{2\zeta \frac{f}{f_n}}{1-{\left(\frac{f}{f_n}\right)}^2})$$

我们知道，共振是指系统受到外界激励时产生大幅度振动的现象，把振动幅度最大时的激励频率称为共振频率。因此，频响函数幅值最大时的激励频率为共振频率。我们对频响函数的幅值进行微分，找到其导数等于0时对应的频率，此时，频响函数的幅值$\left|H(f)\right|$有最大值。这个频率称为有阻尼共振频率，简称共振频率：
$$f_{max}=f_n\sqrt{1-2{\zeta }^2}$$

上式有效，要求阻尼比 $\zeta ⩽1/\sqrt{2}\approx 0.707$ 。此时，频响函数的幅值峰值是 :

$$\left|H(f_{max})\right|=\frac{1/k}{2\zeta \sqrt{1-{\zeta }^2}}$$

对比一下，有阻尼共振频率与有阻尼固有频率：

$$f_{max}=f_n\sqrt{1-2{\zeta }^2}$$

$$f_d=f_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$$

从计算公式上来看，有阻尼共振频率与有阻尼固有频率有细微的差别，体现在阻尼比前的系数。有阻尼共振频率略低于有阻尼固有频率，二者都低于无阻尼固有频率。阻尼越小，二者差异越小，因此，很多时候，都认为二者是同一个东西。

不管共振发生与否，结构的固有频率是不变的，而只有当外界的激励频率接近或等于系统的固有频率时，系统才出现共振现象。虽然很多情况下，都认为共振频率就是固有频率。但是，从上面的公式看出，二者还是有差别。共振现象不是出现在共振频率单值频率处，而是具有一定的频率宽度，如图1中所示，我们把这个频率宽度出现的共振频带，称之为共振带。也就是说，在共振频率附近存在一个频率区间，在这个区间内，结构很容易产生共振。共振带$B_r$定义为半功率带宽或3dB带宽，即 :
$$B_r=f_u-f_l$$
而下限频率$f_l$和上限频率$f_u$定义如下：
$${\left|H(f_l)\right|}^2={\left|H(f_u)\right|}^2=\frac{1}{2}{\left|H(f_{max})\right|}^2$$
这个频率区间与半功率带宽求阻尼中的定义完全相同。

通过以上分析，我们明白以下几点：
1、从数学定义上来看，共振频率与固有频率有细微差别，二者不相等，共振频率略低于有阻尼固有频率；
2、由于阻尼通常很小，因此，也可以认为是同一个频率；
3、共振带定义为半功率带宽，即3dB带宽。

2. 位移、速度、加速度的共振频率并不相同

这部分内容来自原作者公众号这篇文章。感兴趣的可以关注原作者。
过程我就不一一敲公式了，直接放下面图片的结果吧。大致思路就是从位移频响函数出发，利用位移、速度、加速度的微分关系分别求取各自的频响函数，然后利用微分求极值的原理求取共振频率。