压缩映射定理证明

news2024/11/23 11:19:48

收缩映射定理（又称Banach不动点定理）是一个重要的结果，特别是在分析和应用数学中。

定理（收缩映射定理）：假设 $f{}$ 是一个从度量空间 (X,d) 到自身的函数，如果 $f{}$ 是一个收缩映射，即存在常数 $0\leqslant k< 1$ ，使得对于所有 $x,y{}\epsilon X$ ，有 $d(f(x), f(y)) \leq k \cdot d(x, y)$ ,那么 $f{}$ 有唯一的不动点 $x^*$ ，即 $f(x^*) = x^*$ 。此外，对于任何初始点 $x_0 \in X$ ，迭代序列 $x_{n+1} = f(x_n)$ 都收敛于 $x^*$ ，且收敛速度是指数级的。

证明

存在性：我们需要证明存在一个不动点 $x^*$ 使得 $f(x^*) = x^*$ 。

取任意初始点 $x_0 \in X$ ，构造序列 $\{x_n\}$ ，其中 $x_{n+1} = f(x_n)$ 。

我们需要证明这个序列收敛。首先，我们估算 $x_{n+1}$ 和 $x_n$ 之间的距离：
$d(x_{n+1}, x_n) = d(f(x_n), f(x_{n-1})) \leq k \cdot d(x_n, x_{n-1})$
反复使用这个不等式，我们得到：
$d(x_{n+1}, x_n) \leq k \cdot d(x_n, x_{n-1}) \leq k^2 \cdot d(x_{n-1}, x_{n-2}) \leq \cdots \leq k^n \cdot d(x_1, x_0)$
由于 $0 \leq k < 1$ ，我们知道 $k^n \to 0$ 随着 $n \to \infty$ 。因此，
$d(x_{n+1}, x_n) \to 0$ 随着 $n \to \infty$
现在，我们证明 $\{x_n\}$ 是一个Cauchy序列。对于任何 $m > n$ ，有：
$d(x_m, x_n) \leq d(x_m, x_{m-1}) + d(x_{m-1}, x_{m-2}) + \cdots + d(x_{n+1}, x_n)$
使用前面的估计：
$d(x_m, x_n) \leq k^{m-1}d(x_1, x_0) + k^{m-2}d(x_1, x_0) + \cdots + k^n d(x_1, x_0)$
因此，
$d(x_m, x_n) \leq d(x_1, x_0) \sum_{i=n}^{m-1} k^i \leq d(x_1, x_0) \frac{k^n}{1 - k}$ .
由于 $\frac{k^n}{1 - k} \to 0$ 随着 $n \to \infty$ ，我们可以得出 $d(x_m, x_n) \to 0$ 随着 $n, m \to \infty$ ，即 $\{x_n\}$ 是一个Cauchy序列。由于 $X$ 是一个度量空间（假设是完备的），所以 $\{x_n\}$ 收敛于某个点 $x^* \in X$ 。
不动点：我们需要证明这个极限点 $x^*$ 是 $f$ 的不动点。由于 $f$ 是连续的，我们有：

$f(x^*) = f\left(\lim_{n \to \infty} x_n\right) = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = x^*$
唯一性：假设存在两个不动点 $x^*$ 和 $y^*$ ，使得 $f(x^*) = x^*$ 和 $f(y^*) = y^*$ 。我们有：
$d(x^*, y^*) = d(f(x^*), f(y^*)) \leq k \cdot d(x^*, y^*)$
由于 $0 \leq k < 1$ ，唯一可能的是 $d(x^*, y^*) = 0$ ，即 $x^* = y^*$ 。
算法和收敛性：对于任意初始点 $x_0 \in X$ ，迭代序列 $x_{n+1} = f(x_n)$ 收敛于 $x^*$ 。而且，从上述证明中，我们可以看到收敛速度是指数级的，因为

$d(x_n, x^*) \leq \frac{k^n}{1 - k} d(x_1, x_0)$