“二分图匹配策略：匈牙利算法详解与应用实践“

news2024/11/25 22:32:09

二分图的最大匹配

给定一个二分图，其中左半部包含 𝑛1 个点（编号 1∼𝑛1），右半部包含𝑛2 个点（编号1∼𝑛2），二分图共包含 𝑚 条边。

数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。

请你求出二分图的最大匹配数。

二分图的匹配：给定一个二分图 𝐺，在 𝐺 的一个子图 𝑀 中，𝑀 的边集 {𝐸} 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称 𝑀 是一个匹配。

二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。

输入格式

第一行包含三个整数 𝑛1、 𝑛2 和 𝑚。

接下来 𝑚 行，每行包含两个整数 𝑢 和 𝑣，表示左半部点集中的点 𝑢 和右半部点集中的点 𝑣 之间存在一条边。

输出格式

输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。

数据范围

1≤𝑛1,𝑛2≤500,
1≤𝑢≤𝑛1,
1≤𝑣≤𝑛2,
1≤𝑚≤10⁵

输入样例：

输出样例：

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

uwE7FNHfzxn5RZY

等等，看得头大？那么请看下面的版本：

通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感（暂时不考虑特殊的性取向），如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起，现在让我们无视掉所有的单相思，你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。

匈牙利算法的工作模式会教你这样做：

一：先试着给1号男生找妹子，发现第一个和他相连的1号女生还名花无主，连上一条蓝线

二：接着给2号男生找妹子，发现第一个和他相连的2号女生名花无主，连上一条蓝线

三：接下来是3号男生，很遗憾1号女生已经有主了，怎么办呢？
我们试着给之前1号女生匹配的男生（也就是1号男生）另外分配一个妹子。

(黄色表示这条边被临时拆掉)

与1号男生相连的第二个女生是2号女生，但是2号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给2号女生的原配。重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)

此时发现2号男生还能找到3号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去

所以第三步最后的结果就是：

四：接下来是4号男生
很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子。

就是匈牙利算法的流程，其中找妹子是个递归的过程，最关键的就是：有机会上，没机会创造机会也要上。

代码

#include<iostream>
#include <cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
// 邻接表存储图
int n1, n2, m;
int h[500], e[100010],ne[100010], idx = 0;
//st 标记是否递归找过， match[x]：和 x 编号的男生的编号
int st[510], match[510];
//存图函数
void add(int a, int b){
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a]; h[a] = idx++;
}
//递归找可以匹配的点
bool find(int x){
    // 和各个点尝试能否匹配
    for(int i = h[x]; i != -1; i = ne[i]){
        int b = e[i];
        if(!st[b]){//打标记
            st[b] = 1;
            // 当前尝试点没有被匹配或者和当前尝试点匹配的那个点可以换另一个匹配
            if(match[b] == 0 || find(match[b])){
                // 和当前尝试点匹配在一起
                match[b] = x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main(){
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n1 >> n2 >> m;
    // 保存图，因为只从一遍找另一边，所以该无向图只需要存储一个方向
    for(int i = 0; i < m; i++){
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
    }
    int res = 0;
    //为各个点找匹配
    for(int i = 1; i <= n1; i++){
        memset(st, 0, sizeof st);
        //找到匹配
        if(find(i)) res++;
    }
    cout << res;
    return 0;
}