一、进位计数制
1.r进制
第i位表示r进制的权为i
2.进制转换
（1）r->10
对应位置数*权值
（2）2 -> 16 or 8
每三位2进制数可表示1位16进制
每四位2进制数可表示1位16进制
so 分开之后转为16进制即可
eg：11 1100 0010.01101转8、16
0011 1100 0010.0110 1000 => ( 3 C 2. 6 8)H
001 111 000 010.011 010 => (1 7 0 2 . 3 2)O
（3）10->2、16、18
way1：
整数部分:除r留余数
小数部分:乘r留整数
eg:123.6875->2进制
整数部分 123
123/2 = 61 ……1
61/2 = 30……1
30/2 = 15……0
15/2=7……1
7/2 =3……1
3/2=1……1
1/2=0……1
1101111
小数部分0.6875
0.6875*2=1.375
0.375*2=0.75
0.75*2=1.5
0.5*2=1
1011
so -> 110111.1011
way2：凑数
123=64+32+16+8+2+1 = 2^6+2^5+2^4+2^3+2^1+2^0=1111011
0.6875=0.5+0.125+0.0625 = 2^-1+2^-3+2^-4=.1011
so 123.6875 = 1111011.1011
3.真值和机器数
真值：人类习惯的
机器数：计算机里的样子 2 or 8 or 16进制
无符号数 or 有符号数
ATTn:计算机中数字是以补码形式存在，so运算时使用补码
二、码转制计算(binary)
1.原码
2.反码
符号位不变，数值位01互变
3.补码
反码+1
补码->原码 :way1:-1,数值位01互换
way2:数值位01互换+1
特殊:
x为定点整数，[x]补 = 1,0000000 -> x = -2^7
x为定点小数，[x]补 = 1.0000000 -> x = -1
[x]补->[-x]补 : 全01互换 +1
4.移码
补码符号位01互换，数值位不变
5.符号位+数值位
整体占机器字长n
三、加法替代减法
利用补码，-[x]补 = +[-x]补
四、0扩展、符号扩展 34
五、C语言强制类型转换 32
1.有符号数 <==> 无符号数
内容不变，直接按照规则看即可
short x = -4321;//2B=16bit
// [-4321]原 = 1001 0000 1110 0001
// [-4321]补 = 1110 1111 0001 1111
// [y]补 = 1110 1111 0001 1111 =>[y]原->真值61,215
unsigned short y = (unsigned short)x;2.长 ->短
长的部分直接截断
int a = 165537;//4B=32bit
// [a]原 = 0000 0000 0000 0010 1000 0110 1010 0001 -> [a]补
// -> Ox0002 86a1(直接从IDE内存视图中获取)
short b = (short)a;//2B=16bit
// ->0x86a1 -> -31071
printf("b = %d\n",b);
3.短 ->长(符号扩展)
so 数值不变，仅是精度变大
（1）有符号数
符号位和数值位之间补符号数
short c =-4321;
//0xef1f ->0xffff ef1f
int m = x;（2）无符号数
符号位和数值位之间补0
ATTn：顶点整数在计算机中用补码存储
unsigned short q = 61215;
//0xef1f -> 0x0000 ef1f
unsigned int p=(unsigned short ) q;六、电路补充知识——门电路
逻辑门
1.与
(1)表达式
Y = A·B = AB
(2)图形符号（只表示国际画法）（常用）
2.或
(1)表达式
Y = A+ B
(2)图形符号
3.非
(1)表达式
(2)图形符号
4.或非
先或后非
(1)表达式
(2)图形符号
5.异或
(1)表达式
(2)图形符号
6.同或
异或取反
(1)表达式
(2)图形符号
7.门变形画法
多个输入，else不变
8.三种基本逻辑运算的优先级
非 > 与 > 或
(用数学符号理解)
eg：(1) Y = AB + CD 先AB 、CD 后取或
（2）A(B+C)D 先B+C 再 A 、D
9.常见公式
（1）交换律
A(B+C) = AB+AC
（2）结合律
ABC=A(BC)
A+B+C = A+(B+C)
（3）反演律
七、加法器 (二进制)
此部分只需知道加法器(FA)的构成，标志位的名称和作用
1.一位加法器(FA)
（1）实现
一次只能计算1bit,Ai表示被加数本位，Bi表示加数本位，Ci-1表示来自低位的进位，Si表示本位和，整体利用逻辑运算进行实现
ATTn：只能进行无符号数加减
（2）Si
Si当有奇数个1时本位为1，有偶数个1时本位为0
（3）Ci
至少有两个1时才能进位
（4）图形
2.带标志位的加法器 40
（1）介绍
在FA的基础上加上四个标识器，从而可以进行有符号数加减
（2）标识
1）OF(Overflow Flag)
表示带符号数是否溢出， OF = 1溢出；OF = 0不溢出
2）ZF(Zero Flag)
表示结果是否为0 ZF = 1 0；ZF = 0， 不为0
3）SF(Sign Flag)
表示结果为负or 正 SF = 1，为-，SF = 0，为+
4）CF(Carry Flag)
表示无符号数是否溢出， CF = 1溢出；CF = 0不溢出
（3）图形
1bit计算效率低，so产生两种方式：串行 or 并行
3.并行加法器(串行)
将多个FA串联
disa：后面需要等待前面运行的结果，效率也低
4.并行进位的并行加法器
（1）介绍
对并行加法器进行优化
根据数学推导，if将前面运行之后的结果一并送到后面，则效率会提高
但是if太多，则线路就会很麻烦，so一般规定4个FA并行
由此产生4位CLA加法器
（2）图形
八、电路知识补充——多路选择器 & 三态门
1.多路选择器
（1）作用
门卫，同时可以守多道门，只允许一个通过
（2）图形
ATTn：m >= log 2 n
2.三态门
（1）作用
门卫，同时只能守一道门，决定是否通过
（2）图形
OP = 1 通过 OP = 0 不通过
if 通过了，逐位取反之后通过
dis非门：三态门有控制信号
九、算数逻辑单元(ALU) 40
1.概念
ALU是运算器的核心，ALU的核心是（带标志的）加法器
1.功能
算数功能、逻辑功能、else
2.实现原理
加法器，四个标志，与或
3.看懂ALU图示
因为核心是加法器，so图示与加法器相似，多一个操作控制端(ALUop),选择进行什么操作，决定了ALU功能数
4.考点
（1）ifALU支持k种功能 则控制信号位数m>= log2 k up
（2）ALU的运算数、运算结果位数与计算机的机器字长相同
（3）标志位的特性
（4）标志位信息送入PSW程序状态寄存器(标志寄存器FR)
十、定点数移位运算 41
1.算术移位
当作有符号数，右移补0，左移补符号位
2.逻辑移位
当作无符号位，左右移均补0
3.循环移位
（1）不带进位位
（2）带进位位
十一、定点数加减运算
1.原码 44
直接使用原码就是对应数位数值相加，可能会导致溢出
eg:1110 1111
+ 0001 0001
= 1 0000 0000 溢出了
2.补码 41
（1）计算
转为补码进行运算
x - y = x + [-y]补 所有数在计算机中以补码形式存在
x ->-x 全取反 +1
eg : 15+24 15-24 P41[x]原 = 0000 1111 = [x]补 [y]原 = 0001 1000 =[y]补[x+y ]补= 0000 1111+ 0001 1000= 0010 0111 =[x+y]原 ->真值 = +39[-y]补 = 1110 1000[x-y]补= 0001 1111+1110 1000= 1111 0111 -> [x-y]原 = 1000 1001 ->真值 -9
（2）溢出判断
way1：+++ = - 上溢 -+- = + 下溢
way2：一位符号位（模2补码），加法器中，if 本位 As、Bs 、结果位 Ss 有异号，则说明溢出
V = 0无溢出；V = 1溢出
way3：双符号位（模4补码），S1S2 == 00 结果为+，无溢出；S1S2 == 01 上溢；S1S2 == 10下溢；S1S2 == 11 结果为-，无溢出
ATTN:只存储一位符号位，运算前复制一位之后进行运算
有符号数 vs 无符号数
操作相同，way1：手算，看结果是否在正常范围内
way2：机算(溢出了)：正数：最高位进1了；负数，最高位进0了
（3）补码加减的运算电路 42
十二、乘法运算
1.原码
正常小学算法中，0.1101*0.1011(二进制)
0.1101（被乘数）
*0.1011（乘数）
01101
011010
000000
01101000
= 0.10001111
看乘数的数位，为1，加被乘数；为0，不加，每次加完被乘数左移再写
（1）加法器中
ACC表示中间结果，起初全为0，MQ中存放乘数，X中存放被乘数。
eg：01101*0.1011
当乘数为1时，（ACC+01101）->（ACC）
每次加完之后ACC逻辑右移，相当于被乘数逻辑左移，so观察5次乘数尾数，右移4次后终止
（2）手算模拟
step1：先取x、y绝对值，因为是乘法，so先把符号位放着，最后确定符号位。
step2：双符号位运算
step3：符号异或（or常识）获得，数值位为ACC除了符号位+MQ中除了符号位
eg：设机器字长5位(符号位1，n = 4)，x = -0.1101，y=+0.1011，求xy
step1：|x| = 00.1101 |y|= 00.1011 （原码）
step2：(如图)
step3：负数肯定符号位为1，key = 1.1000 1111
2.补码(Booth算法)
类比补码加法，使用补码进行运算，符号位参与运算，在乘数处运用辅助位(置于末尾)，辅助位-数值位最低位(此处只是好记，实际上最低位是辅助位)，根据正负对应+[+/-x]补，加完之后ACC算术右移，最后n次加完之后仍需判断进行+[+/-x]补，so一共n次右移，n+1次加减
（1）加法器中
（2）手算模拟
step1：转为补码
step2：符号位-最低位进行加减
step3：n次右移之后判断再+1次
step4：key为ACC+MQ除了原符号位
十三、除法运算
1.原码
小学方法：计算之后被除数-该位商*除数 ，之后补0再运算
由此可知，除法可理解为拼凑，商是找最接近被除数的除数的多少个整数倍，余数是被除数-该位商*除数的数，也就是接下来还需要拼凑的部分
（1）恢复余数法
因为二进制只会商0 or 1，so根据当时拼凑的数与除数的大小进行判断。但因为计算机设置，商默认为1，由此先减去，之后判断是否为+or-，if为-则说名商1不行，则改为0，同时因为拼凑部分-y了，需+回去，so名字为恢复余数法
eg：设机器字长5位(符号位1，n = 4)，x = 0.1011，y=0.1101，求x/y
|x| = 0.1011 |y| = 0.1101 [|y|]补= 0、1101 [-|y|]补 = 1.0011
1）加法器中
在加法器中，ACC放置被除数，MQ放置商，X放置除数
2）手算模拟
step1：计算|x| = 0.1011 |y| = 0.1101 [|y|]补= 0.1101 [-|y|]补 = 1.0011
step2：商1，+[-|y|]补，检测是否正确，if拼接-除数 <0,则恢复0 且+[|y|]补
step3:计算完之后MQ、ACC左移（相当于除数右移），再取商，直到MQ位满
step4：最后检测商0是否正确，if不对还得修改
step5：最后结果 商为（MQ），余数为(ACC)*2^(-n)，attn小数点的补充
3)逻辑图
（2）不恢复余数法
1）加法器中
2）手算模拟
3)逻辑图
2.补码
十四、数据的存储和排列 61
1.大端存储 vs 小段存储
c short 类型2B = 16bit，->16进制4位， 小端存储 即 倒着，so c = 0xef1f
3.字 vs 字节
32bit机器中，1字= 32bit
字节 1Byte = 8bit
4.边界对齐 vs 边界不对齐
一行1字，char(1B)占1/4字，short占半字，每半字为单位
十五、浮点数的表示与运算 55
类似科学计数法
1.浮点数的表示 55
（1）表示
1）阶码
表示次数
2）尾数
具体数值
3）真值
真正的数值
（2）规格化
1)左规
尾数算数左移，阶码-1
2)右规
尾数算数右移，阶码+1
3)原码
数值位最高位为1，具有符号位
正数:0.1xxx……x
负数:1.1xxx……x
4)补码
尾数最高数值位与符号位相反
正数:0.1xxx……x
负数:1.0xxx……x
（3）表示范围(已删除)
2.IEEE 754标准 56
（1）表示
阶码用移码表示，尾数用原码表示
移码 = 真值+偏置值
dist：在进行码之间转换时，规定偏置值为2^（n-1）
在IEEE 754中 规定偏置值为2^(n-1) -1 则float 偏置值为127
（2）data类型(eg float)
考察:float、 double、long double
阶符ms 阶码E 尾数M(隐含1.) 机器字长
1 8 23 32
（3）格式
ms;E;M ->转为16进制
（4）真值 <==>规格数
1)真值 ->IEEE 754
step：
step1：根据符号定ms
step2：整数部分和小数部分转为2进制，化为类科学计数法
step3：根据次方定E，E用移码表示----E 移码 = 真值 + 偏置值 (way2)
step4：隐藏1定M
step5：补位、组合后化为16进制
eg:十进制-8.25 ->IEEE 754 float p58
step1:
ms = 1
step2：
8D = 1000B 0.25D = 0.01B
8.25D = 1000.01B = (1.00001B)*2^3
step3：
E = [3]移码 = 10000010
way1:[3]移码=10000011 -1 = 1000010 (普通 -1)
way2:3+127=130当作无符号数 = 1000010
step4：M = 00001
step5：float 1+8+23
ms = 1 E = 10000010 M = 0000100000……0(补0到23位)
so 1;100 0001 0 ; 000 0100 0000 0000 0000 0000 -> C104 0000H
2)IEEE 754 ->真值
step:
step1:16进制化为2进制，分成ms、E、M
step2：根据ms定正负，E转为真值，M+1.
step3:组装 ->化为10进制
eg:IEEE754 C640 0000H ->真值
step1: C640 0000H-> 1100 0001 0000 0100 16个0 B
ms = 1 E = 1000 0010 M = 100 16个0
step2:ms表示负数 E = 13D
M -> 1.1B ->1.5D
step3: - 1.5* 2^13
（4）特殊值（float）
1）原因
IEEE754的偏置值为127，so -127表示全0，-128表示全1，so用作了特殊用途
2）数值
符号位表正负
i)+0 vs -0
阶码全0 ，尾数全0
ii)+∞ vs -∞
阶码全1，尾数全0
iii)无规格化正数 vs 无规格化负数
阶码全0，尾数不全为0，表示极小的正负数
iV)NAN
阶码全1，尾数不全为0
3.浮点数的运算
（1）加减运算 59
steps:
step0:转换成二进制补码(阶码和数码)step1:齐阶
用阶相减之后的正负表示大小，小->大靠拢
step2:尾数相加(减)
step3:规格化(符号位同号)
step4:舍入(末尾为0则不用舍入)
step5:判断溢出(阶次是否溢出)
step6:转为真值
eg:十进制 X = -5/256,Y = +59/1024,计算X-Y,结果用2进制表示，浮点数格式:阶符数2位，阶码位3位，数符2位，尾数9位
step0：
X = -5/256 = -101*2^(-101) Y = +59/1024 = 0.111011*2^(-100) 二进制
X : 11011,11.011000000 Y: 11100,00.111011000
step1:
11011 - 11100 = 11011 + 00100 = 11111 -> -1
X : 11011,11.011000000 -> 11100,11.1011000000
step3:
X - Y = X+ （-Y ） = 11.01100000+11.000101000 = 10.110001000
step4:
X - Y : 11100,10.110001000 右移 -> 11101,11.011000100
4.末尾为0，无舍入
5. 无溢出 真值 2^(-3)*(-0.110001)2
（1+）进行舍入分析
1)就近舍入(0舍1入)
看末尾
2)直接置1
不管末尾为0 or 1,将最后一位置1
（2）类型转换(32bit机器) 60
1)无损
char->int->long->double
float->double
2)有损
int 表示32位整数(1+31)，float表示32位浮点数(1+8+23)
so int 范围 -2^31-1 ~2^31 -1,float 范围2^(-126)~1.1……1*2^(127)
int ->float 31位表示精度，float24位(1隐藏了)表示精度，so会有精度损失
float ->int 直接截断了
![[AI里程碑]StableDiffusion3今日开源 | 首个开源超越Midjourney](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/3702504a10145d5ee5fb0ecca72ef0f2.jpeg)
