一、朴素贝叶斯法原理

1.基本原理

  朴素贝叶斯法(Naive Bayes)是一种基础分类算法，它的核心是贝叶斯定理+条件独立性假设。贝叶斯定理描述的是两个条件概率之间的关系，对两个事件A和B，由乘法法则易知$$(A\cap B)=P(A)P(B│A)=P(B)P(A│B)$$
  贝叶斯定理就是对这个关系式的变形，即
$$P(B│A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(A)}$$
  若把样本特征和类别作为对应的条件和条件概率，则贝叶斯定理可以用来解决分类问题。如对样本$x=\left(x_1,x_2,...,x_n\right)$，所属类别为$y$，那么该特征下对应该类别的概率代入贝叶斯公式就是$$P(y|x_1,x_2,...,x_n)=\frac{P(y)P(x_1,x_2,...,x_n|y)}{P(x_1,x_2,...,x_n)}$$
  贝叶斯分类法的思想就是计算样本特征对应于各类别的概率，以概率最大的作为分类输出。分母部分是特征的联合概率，可以进一步由全概率公式展开；分子部分由于含复杂的条件概率，使得直接的计算较复杂，因此这里做一个条件独立性假设，即认为样本的各维特征间是相互独立的，这是一个较强的假设，朴素贝叶斯也由此得名。在该条件之下，分子便可化为$$P(y)\prod _{i=1}^{n}P(x_i|y)$$
  注意到，在用于分类决策时，分母部分的值对于所有的类别都是相同的，要找出最大概率对应的类别，只考察分子即可。因此，朴素贝叶斯分类器表示为$$\hat{y}=\arg ma{x}_{y_k}P(y_k)\prod _{i=1}^{n}P(x_i|y_k)$$

2.平滑处理

  在离散特征的情形之下进行分类输出的概率计算，可能会出现概率为0的情况，如随机变量观测值的某一维并未在训练集中出现，那么它所属的条件概率为0，致使对应类别的后验概率为0，从而使分类产生偏差，这是不合理的，因此需进行一定的平滑处理。具体，就是在频率计算时，对每组统计的频数加上一个常数。
先验概率：$P(y_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_i=y_k)+\lambda }{N+K\lambda }$
条件概率：$P(x_i|y_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(x_i,y_i=y_k)+\lambda }{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_i=y_k)+S\lambda }$
  当$\lambda =1$时，称为拉普拉斯平滑(Laplace smoothing)。

3.三个基本模型

  根据特征随机变量的类型，分为伯努利朴素贝叶斯、多项式朴素贝叶斯、高斯朴素贝叶斯三种基本模型。
(1) 伯努利朴素贝叶斯
  若特征随机变量符合的是离散型的二项分布，也就是仅布尔值，那么此时的模型称为伯努利朴素贝叶斯。从统计的角度，分类器表达式分子中的连乘运算对应于n次独立试验。
(2) 多项式朴素贝叶斯
  若特征随机变量符合的是离散型的多项分布，那么此时的模型称为多项式朴素贝叶斯。同样地，分类器表达式分子中的连乘运算对应于n次独立试验。
(3) 高斯朴素贝叶斯
  若特征随机变量是连续型的（如身高、体重），即假定它是符合高斯分布的（正态分布），概率的计算就是由已知的数据计算出高斯分布的两个参数（均值、标准差），进而由密度函数确定对应的取值，代入公式计算。同样地，分类器表达式分子中的连乘运算对应于n次独立试验。

二、示例

  这里对多项式朴素贝叶斯分类模型举例。
训练集：

样本特征向量X	类别Y
[1, 1, 2, 3]	1
[1, 2, 2, 4]	2
[1, 2, 3, 3]	2
[1, 2, 4, 4]	3
[1, 3, 3, 4]	3
[2, 2, 3, 4]	1
[2, 1, 3, 3]	3

测试样本：[1, 2, 3, 4]

则类别集合为 Y ∈ { 1 , 2 , 3 } Y\in\left\{ 1,2,3 \right\} Y∈{1,2,3} ,
$P(Y=1)=\frac{2}{7}$,$P(Y=2)=\frac{2}{7}$,$P(Y=3)=\frac{3}{7}$,
$P\left(X_1=1|Y=1\right)=\frac{1}{2}$,$P\left(X_2=2|Y=1\right)=\frac{1}{2}$,$P\left(X_3=3|Y=1\right)=\frac{1}{2}$,
$P\left(X_4=4|Y=1\right)=\frac{1}{2}$,$P\left(X_1=1|Y=2\right)=1$,$P\left(X_2=2|Y=2\right)=1$,
$P\left(X_3=3|Y=2\right)=\frac{1}{2}$,$P\left(X_4=4|Y=2\right)=\frac{1}{2}$,$P\left(X_1=1|Y=3\right)=\frac{2}{3}$,
$P\left(X_2=2|Y=3\right)=\frac{1}{3}$,$P\left(X_3=3|Y=3\right)=\frac{2}{3}$,$P\left(X_4=4|Y=3\right)=\frac{2}{3}$,

归属于类别1的概率：
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}& P(Y=1)P(X_1=1|Y=1)P(X_2=2|Y=1)P(X_3=3|Y=1)P(X_4=4|Y=1)\\ & =\frac{2}{7}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\\ & =\frac{1}{56}\end{array}\end{array}$$
归属于类别2的概率：
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}& P(Y=2)P(X_1=1|Y=2)P(X_2=2|Y=2)P(X_3=3|Y=2)P(X_4=4|Y=2)\\ & =\frac{2}{7}\cdot 1\cdot 1\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\\ & =\frac{1}{14}\end{array}\end{array}$$
归属于类别3的概率：
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}& P(Y=3)P(X_1=1|Y=3)P(X_2=2|Y=3)P(X_3=3|Y=3)P(X_4=4|Y=3)\\ & =\frac{3}{7}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\\ & =\frac{8}{189}\end{array}\end{array}$$

归属于类别2的概率最大，因此分类输出为2。

三、Python实现

(1) 伯努利朴素贝叶斯

'''
sklearn实现伯努利朴素贝叶斯分类。
'''

import numpy as np
from sklearn.naive_bayes import BernoulliNB

## 1.构造训练集和待测样本
#训练集数据
train_x=[
    [1, 1, 1, 1],
    [1, 1, 1, 1],
    [1, 1, 1, 0],
    [1, 1, 0, 0],
    [1, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0]
]
#训练集数据标签
train_y=[
    1,
    2,
    2,
    3,
    3,
    1
]

#待测样本
test_x = [
    [1, 2, 1, 2],
    [1, 1, 2, 2]
]

#转为array形式
train_x = np.array(train_x)
train_y = np.array(train_y)
test_x = np.array(test_x)

## 2.定义分类器
bnbClf = BernoulliNB()

## 3.训练
Fit_bnbClf = bnbClf.fit(train_x,train_y)

## 4.预测
pre_y = Fit_bnbClf.predict(test_x)

print('预测类别：')
print(pre_y)

(2) 多项式朴素贝叶斯

'''
sklearn实现多项式朴素贝叶斯分类。
'''

import numpy as np
from sklearn.naive_bayes import ComplementNB

## 1.构造训练集和待测样本
#训练集数据
train_x=[
    [1, 1, 2, 3],
    [1, 2, 2, 4],
    [1, 2, 3, 3],
    [1, 2, 4, 4],
    [1, 3, 3, 4],
    [2, 2, 3, 4],
    [2, 1, 3, 3]
]
#训练集数据标签
train_y=[
    1,
    2,
    2,
    3,
    3,
    1,
    3
]


#待测样本
test_x = [
    [1, 2, 3, 4],
    [1, 1, 1, 4]
]

#转为array形式
train_x = np.array(train_x)
train_y = np.array(train_y)
test_x = np.array(test_x)

## 2.定义分类器
cnbClf = ComplementNB()

## 3.训练
Fit_cnbClf = cnbClf.fit(train_x,train_y)

## 4.预测
pre_y = Fit_cnbClf.predict(test_x)

print('预测类别：')
print(pre_y)

(3) 高斯朴素贝叶斯

'''
sklearn实现高斯朴素贝叶斯分类。
'''

import numpy as np
from sklearn.naive_bayes import GaussianNB

#训练集数据
train_x=[
    [1.1, 2, 3, 4],
    [1, 2.2, 3, 4],
    [1, 2, 3.3, 4],
    [1, 2, 3, 4.4],
    [1.1, 2.2, 3, 4],
    [1, 2, 3.3, 4.4]
]
#训练集数据标签
train_y=[
    1,
    2,
    2,
    3,
    3,
    1
]

#待测样本
test_x = [
    [1.2, 2, 3, 4],
    [1, 2.3, 3, 4]
]

#转为array形式
train_x = np.array(train_x)
train_y = np.array(train_y)
test_x = np.array(test_x)

## 2.定义分类器
gnbClf = GaussianNB()

## 3.训练
Fit_gnbClf = gnbClf.fit(train_x,train_y)

## 4.预测
pre_y = Fit_gnbClf.predict(test_x)

print('预测类别：')
print(pre_y)

End.

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