图解人工智能的数学基础（线性代数）

news2024/11/25 3:04:28

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📆首发时间：🌹2024年6月9日🌹

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🙏本书是自己写的哦，因为编辑太麻烦啦，很多地方就粘贴了图片，如果需要电子版的可以私信哈。

目录

引言

研究对象：向量

研究手段：线性变换

行列式

矩阵

矩阵的含义

矩阵的运算

矩阵的逆

伴随矩阵

矩阵相似

矩阵的秩

向量

线性组合

线性表示

线性相关

线性无关

正交矩阵

极大线性无关组

向量组的秩

等价向量组

施密特正交化

矩阵分解

线性方程组

非齐次线性方程组的解

基础解析

方程组的近似解

矩阵的特征值和特征向量

矩阵的特征值和特征向量

相似矩阵

相似对角化

二次型

矩阵合同

引言

向量的定义为具有大小和方向的量。这里我们主要关注神经网络中用到的内容，弄清向量的性质。

研究对象：向量

向量是有方向的线段，线段的长度代表向量的大小，箭头代表向量的方向。

几何视角和坐标表示

现实视角

向量可以代表着一些信息

向量的大小

向量的内积

坐标视角

几何视角

从几何角度来看，向量内积与向量的长度和它们之间的夹角有关。具体地，两个向量的内积可以表示为：

研究手段：线性变换

对称变换

伸缩变换

行列式

矩阵是为了表达信息，行列式可以当成矩阵的一个性质。二维行列式的几何含义就是二维图像的有向面积。三维行列式的几何含义就是三维集合的有向体积。如果这个矩阵参与变换的话，对应的二维行列式的含义就是变换前后的有向面积之比。对应的三维行列式的几何含义就是变换前后的有向体积之比。

对于行列式的计算而言，在实际的工程应用中直接可以用计算机计算，这里我们不做重点进行讨论。

矩阵

矩阵的含义

一个标量就是一个单独的数。只具有数值大小，没有方向（部分有正负之分），运算遵循一般的代数法则。比如质量是数据标量。向量指具有大小和方向的量，在机器学习中，单条数据样本的表征都是以向量化的形式来完成的。矩阵是二维数组，AI中的应用：样本以矩阵形态表示：公式条数据/样本，公式个特征的数据集，就是一个公式的矩阵。

标量，可以视为零阶张量。向量，可以视为一阶张量。矩阵，可以视为二阶张量。图片以矩阵形态表示：将一张彩色图片表示成一个公式的三阶张量（高度，宽度，通道）。在这个例子的基础上，将这一定义继续扩展，即：用四阶张量（样本，高度，宽度，通道）表示一个包含多张图片的数据集。AI中的应用：张量是深度学习中一个非常重要的概念，大部分的数据和权重都是以张量的形态存储的，后续的所有运算和优化算法也都是基于张量进行的。