加法器的工作原理：从简单的逻辑到现代计算

我们在cpu内部结构窥探·「1」中提到CPU内部ALU的核心部件就是运算器，今天就以加法器为例，来讲解我们ALU中算数逻辑运算的过程。

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1.认识数字电路中的各种门电路

2. 什么是加法器？

加法器是一种数字电路，用于对二进制数进行加法运算。它们是计算机算术逻辑单元（ALU）的核心组件，也是各种数字系统（如计算器和数字信号处理器）的基础模块。加法器通常可以分为以下几种类型：

• 半加器（Half Adder）：处理两个单个位的加法。
• 全加器（Full Adder）：处理两个输入位和一个进位位的加法。
• 多位加法器：处理多位二进制数的加法，通常通过连接多个全加器来实现。

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3. 半加器（Half Adder）

逻辑电路

半加器是最基本的加法器，它负责对两个单个位进行加法运算，输出一个和（Sum）和一个进位（Carry）。

工作原理

半加器接收两个输入位 ( A ) 和 ( B )：

• 和（Sum）：由输入位 ( A ) 和 ( B ) 的异或（XOR）运算得出。其逻辑表达式为：

  Sum=A⊕B

• 进位（Carry）：由输入位 ( A ) 和 ( B ) 的与（AND）运算得出。其逻辑表达式为：

• Carry=A⋅B

A	B	Sum	Carry
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

如表所示，当 ( A ) 和 ( B ) 都为 1 时，和为 0 并产生一个进位。半加器的局限性在于它不能处理进位输入，因此只能用于简单的单个位加法。

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4. 全加器（Full Adder）

逻辑电路

全加器扩展了半加器的功能，能够处理两个输入位和一个来自低位的进位输入。它输出一个和和一个进位输出。

工作原理

全加器有三个输入：( A )、( B ) 和 ( C_{in} )（进位输入）。它通过组合两个半加器的逻辑实现：

1. 第一个半加器对 ( A ) 和 ( B ) 进行加法，产生初步的和 ( S_1 ) 和进位 ( C_1 )：

   		S1=A⊕B
   		C1=A⋅B
   

2. 第二个半加器将初步的和 ( S_1 ) 与进位输入 ( C_{in} ) 相加，产生最终的和 ( S ) 和第二个进位 ( C_2 )：

   		S=S1⊕Cin
   		C2=S1⋅Cin
   

3. 最终的进位输出 ( C_{out} ) 是两个进位的或运算：

   		Cout=C1∨C2
   

A	B	( Cin)	Sum	( Cout )
0	0	0	0	0
0	1	0	1	0
1	0	0	1	0
1	1	0	0	1
0	0	1	1	0
0	1	1	0	1
1	0	1	0	1
1	1	1	1	1

全加器的输出逻辑综合了两个半加器和一个或门（OR Gate）的运算结果，使它能够处理多位加法中的进位传递。

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4. 多位加法器

如下图是一个4位加法器的逻辑电路：

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5. 举一反三

以此类推，我们可以了解到ALU的其他运算单元如：加法器、减法器、与非门（用于逻辑运算）等的实现原理。
在这里仅从最基本的一个加法运算出发，来了解cpu内部ALU是如何实现这些运算的，真实的ALU要比这个复杂千万倍，这只是他最基本的原理。