有4种表达方式：旋转矩阵SO(3)、四元数、旋转向量和欧拉角。

一、旋转矩阵SO(3)

• 定义：旋转矩阵是一个3×3的正交矩阵，且行列式为1。
• 表示：可逆矩阵，逆矩阵和转置矩阵相同，表示相反的旋转。
• 优点：可以直接应用于向量进行旋转，矩阵乘法简单直接。
• 缺点：表示复杂的旋转时需要9个参数（9个矩阵元素），占用空间较大，且需要保持矩阵的正交性和行列式为1。

二、四元数

• 定义：四元数是一种扩展复数的数学对象，通常表示为 q= a + bi + cj + dk。
• 表示：一个单位四元数 q 可以表示为 q=(w,v)其中 w是实部，v=(x,y,z) 是虚部，需要注意的是只有单位四元数才能表示旋转，使用前需要归一化。
• 优点：避免万向锁问题，计算高效，仅需要4个参数，插值简单（球面线性插值）。
• 缺点：直观性不如其他方法强，不易理解。

三、旋转向量（轴角）

• 定义：用一个旋转轴 u 和一个旋转角度 θ来描述旋转。
• 表示：旋转轴是一个单位向量 u，旋转角度为 θ。旋转矩阵可以通过Rodrigues公式从轴角表示法推导。这个转换过程也对应着李群李代数的映射。
• 优点：直观地描述旋转，适合描述简单的旋转。
• 缺点：进行复杂计算时不如四元数或旋转矩阵方便，而且显而易见他和欧拉角一样也有奇异性，在旋转角度超过2π的时候。

 

四、 欧拉角

• 定义：欧拉角是一组三个角度，用来描述物体的三个逐次旋转。
• 表示：我们常常提到的row、pitch 、yaw。常见的旋转顺序有XYZ、ZYX等，每个顺序对应不同的一组三个角度（α, β, γ）。
• 优点：容易理解和可视化，适合表示分阶段的旋转。
• 缺点：容易引起万向锁问题。

五、万向锁

• 定义：万向锁是指在使用欧拉角表示旋转时，当两个旋转轴重合时（这种情况是中间旋转的角度是±90°的时候），导致一个自由度的丢失。
• 问题：当两个旋转轴重合时，系统无法区分两个独立的旋转，使得旋转不再能表示所有可能的三维旋转。这在飞行器控制和计算机图形学中会带来实际问题。
• 解决方法：使用四元数或旋转矩阵来表示旋转，因为它们不会出现万向锁问题